📖 Fiche résumée

Introduction à la Résolution d'Inéquations en Seconde

En classe de Seconde, la maîtrise de la résolution d'inéquations constitue une compétence fondamentale en mathématiques. Plus qu'une simple extension des équations, les inéquations introduisent la notion de comparaison et d'intervalles de solutions. Elles sont omniprésentes en analyse de fonctions, en optimisation et dans de nombreux problèmes concrets. Cette fiche de cours a pour objectif de synthétiser les concepts, règles et méthodes indispensables pour aborder sereinement ce chapitre. Nous allons revoir les symboles d'inégalité, les règles de manipulation, et surtout, la méthode du tableau de signes, un outil puissant pour résoudre des inéquations complexes impliquant des produits ou des quotients. L'objectif est de vous donner une compréhension solide des mécanismes en jeu, afin de ne plus jamais tomber dans les pièges classiques.

Les Symboles d'Inégalité : Le Langage de la Comparaison

Avant de manipuler des inéquations, il est crucial de maîtriser le vocabulaire et les symboles associés. Une inéquation est une expression mathématique qui met en relation deux quantités à l'aide d'un symbole de comparaison.

• > : Ce symbole se lit « strictement supérieur à ». L'expression a > b signifie que la valeur de a est plus grande que celle de b, sans jamais pouvoir être égale.
• < : Ce symbole se lit « strictement inférieur à ». L'expression a < b signifie que la valeur de a est plus petite que celle de b, sans jamais pouvoir être égale.
• ≥ : Ce symbole se lit « supérieur ou égal à ». L'expression a ≥ b signifie que la valeur de a est soit plus grande que b, soit exactement égale à b.
• ≤ : Ce symbole se lit « inférieur ou égal à ». L'expression a ≤ b signifie que la valeur de a est soit plus petite que b, soit exactement égale à b.

La distinction entre une inégalité stricte ( > ou < ) et une inégalité large ( ≥ ou ≤ ) est primordiale, notamment pour définir les bornes des intervalles de solutions. Une inégalité large inclura la valeur borne dans la solution (crochet fermé), tandis qu'une inégalité stricte l'exclura (crochet ouvert).

Règles de Manipulation des Inéquations : Prudence et Précision

Résoudre une inéquation, c'est trouver l'ensemble de toutes les valeurs que peut prendre l'inconnue (souvent x) pour que l'inégalité soit vraie. Pour cela, on isole l'inconnue en appliquant des opérations aux deux membres de l'inéquation. Si ces règles ressemblent à celles des équations, une différence capitale existe et constitue la source d'erreur la plus fréquente.

Addition et Soustraction

Ajouter ou soustraire un même nombre réel aux deux membres d'une inéquation ne change jamais le sens de l'inégalité.
Formellement, pour tous réels a, b et c :

• Si a < b, alors a + c < b + c.
• Si a > b, alors a - c > b - c.

Exemple : Pour résoudre x + 5 ≤ 12, on soustrait 5 de chaque côté, ce qui donne x ≤ 7. Le sens de l'inégalité reste inchangé.

Multiplication et Division par un Nombre Positif

Multiplier ou diviser les deux membres d'une inéquation par un même nombre réel strictement positif (c > 0) ne change jamais le sens de l'inégalité.
Formellement, pour tous réels a, b et c avec c > 0 :

• Si a < b, alors a × c < b × c.
• Si a > b, alors a / c > b / c.

Exemple : Pour résoudre 4x > 20, on divise chaque côté par 4 (qui est positif), ce qui donne x > 5. Le sens de l'inégalité reste inchangé.

Le Point Crucial : Multiplication et Division par un Nombre Négatif

Voici la règle la plus importante et celle qui demande le plus d'attention. Multiplier ou diviser les deux membres d'une inéquation par un même nombre réel strictement négatif (c < 0) inverse (ou change) le sens de l'inégalité.
Formellement, pour tous réels a, b et c avec c < 0 :

• Si a < b, alors a × c > b × c.
• Si a > b, alors a / c < b / c.

Exemple : Pour résoudre -2x ≥ 10, on doit diviser chaque côté par -2. Comme -2 est un nombre négatif, on doit impérativement inverser le sens de l'inégalité : le symbole ≥ devient ≤. On obtient alors x ≤ -5. Oublier ce changement de sens est une erreur classique qui mène à un résultat complètement faux. Pour vous en convaincre, testez une valeur : si on avait conclu à tort x ≥ -5, on pourrait tester x = 0. On aurait -2(0) ≥ 10, soit 0 ≥ 10, ce qui est absurde. Avec la bonne réponse x ≤ -5, testons x = -6 : -2(-6) ≥ 10, soit 12 ≥ 10, ce qui est correct.

Le Tableau de Signes : L'Outil pour les Inéquations Produit et Quotient

Lorsque l'inéquation fait intervenir des produits ou des quotients de facteurs du premier degré (de la forme ax + b), il n'est plus possible de simplement isoler x. Il faut étudier le signe de l'expression entière. C'est le rôle du tableau de signes.

Principe de la Méthode

La méthode consiste à : 1. Se ramener à une inéquation dont l'un des membres est nul (par exemple, P(x) > 0). 2. Factoriser l'expression P(x) si nécessaire pour obtenir un produit ou un quotient de facteurs. 3. Étudier le signe de chaque facteur individuellement. 4. Regrouper ces études dans un tableau pour en déduire le signe de l'expression complète en appliquant la règle des signes. 5. Conclure en donnant l'ensemble des solutions qui correspond au signe recherché dans l'inéquation de départ.

Exemple Détaillé : Résolution d'une Inéquation Produit

Prenons l'exemple de l'inéquation (3x + 6)(5 - x) ≥ 0. Étape 1 : Étude du signe de chaque facteur

• Pour le facteur (3x + 6) : On cherche quand il est positif, négatif ou nul.
  • 3x + 6 = 0 ⇔ 3x = -6 ⇔ x = -2.
  • 3x + 6 > 0 ⇔ 3x > -6 ⇔ x > -2.
  • 3x + 6 < 0 ⇔ 3x < -6 ⇔ x < -2.
  Donc, le facteur (3x + 6) est négatif avant -2, nul en -2, et positif après -2.
• Pour le facteur (5 - x) :
  • 5 - x = 0 ⇔ x = 5.
  • 5 - x > 0 ⇔ 5 > x ⇔ x < 5.
  • 5 - x < 0 ⇔ 5 < x ⇔ x > 5.
  Attention ici, le coefficient de x est négatif. Le facteur (5 - x) est donc positif avant 5, nul en 5, et négatif après 5.

Étape 2 : Construction du tableau de signes On place sur la première ligne les valeurs de x, en ordonnant les racines trouvées (-2 et 5).

| x | -∞ | -2 | 5 | +∞ | |-------|------|------|------|------| | 3x+6 | - | 0 | + | + | | 5-x | + | + | 0 | - | | Produit| - | 0 | + | - |

Étape 3 : Détermination du signe du produit On remplit la dernière ligne en appliquant la règle des signes colonne par colonne :

• Pour x < -2 : (-) × (+) = (-)
• Pour -2 < x < 5 : (+) × (+) = (+)
• Pour x > 5 : (+) × (-) = (-)

Étape 4 : Conclusion On cherche à résoudre (3x + 6)(5 - x) ≥ 0. On recherche donc les intervalles où le produit est positif ou nul. En lisant la dernière ligne du tableau, on voit que cela correspond à l'intervalle entre -2 et 5. Comme l'inégalité est large (≥), les valeurs où le produit est nul (-2 et 5) sont incluses dans la solution. L'ensemble des solutions est donc S = [-2; 5].

Cas des Inéquations Quotients : La Valeur Interdite

La méthode est quasiment identique pour un quotient du type A(x) / B(x) > 0. La seule et unique différence, mais elle est capitale, est que le dénominateur ne peut jamais être égal à zéro. La ou les valeurs de x qui annulent le dénominateur sont appelées valeurs interdites. Dans le tableau de signes, on représente une valeur interdite par une double barre dans la ligne du quotient. Cette valeur sera systématiquement exclue de l'ensemble des solutions, même si l'inégalité est large (≥ ou ≤). Exemple : Si on devait résoudre (x+1)/(x-4) ≤ 0, la valeur x=4 annule le dénominateur. C'est une valeur interdite. L'ensemble solution serait ]-1, 4[, avec un crochet ouvert en 4 malgré le symbole ≤.

Inéquations et Valeur Absolue

La valeur absolue, notée |a|, représente la distance d'un nombre a à zéro. Elle est toujours positive ou nulle. Les inéquations avec valeur absolue se résolvent en se ramenant à un système d'inéquations classiques. La fiche de cours mentionne une règle essentielle : pour b > 0,

|a| > b équivaut à (a > b ou a < -b)

Cela signifie que la distance de a à zéro est supérieure à b, ce qui place a soit loin dans les positifs (plus grand que b), soit loin dans les négatifs (plus petit que -b). L'ensemble des solutions est alors une union d'intervalles. Exemple : Résoudre |x| > 3. Cela signifie que x > 3 ou x < -3. La solution est S = ]-∞; -3[ ∪ ]3; +∞[.

Conclusion : Une Méthodologie à Maîtriser

La résolution d'inéquations en Seconde repose sur la maîtrise de quelques règles fondamentales, en particulier le changement de sens lors de la multiplication par un nombre négatif, et sur l'application rigoureuse de la méthode du tableau de signes. Cet outil est central et sera réutilisé constamment dans les chapitres d'analyse de fonction pour déterminer la position d'une courbe par rapport à une autre ou pour étudier les variations d'une fonction. La pratique régulière est la clé pour acquérir les automatismes et éviter les erreurs. Pour une synthèse visuelle de ces règles et un accès direct à l'exemple traité, n'hésitez pas à consulter la fiche de cours complète disponible sur Galilee.ac. Elle vous servira de mémo efficace lors de vos révisions.