📖 Fiche résumée

Introduction à l'étude des limites de fonctions en Terminale

L'analyse des limites de fonctions est un pilier fondamental du programme de mathématiques en classe de Terminale Spécialité. Ce chapitre essentiel ouvre la porte à une compréhension plus profonde du comportement des fonctions, notamment aux bornes de leur ensemble de définition. Maîtriser les limites est indispensable pour aborder sereinement des notions ultérieures comme la continuité, la dérivabilité, et l'étude complète de fonctions. Cette fiche de cours a pour vocation de synthétiser les concepts clés, les théorèmes majeurs et les techniques opératoires que tout élève doit connaître pour réussir. Nous explorerons les redoutables formes indéterminées, les méthodes pour les lever, l'importance des théorèmes de comparaison et des croissances comparées, ainsi que l'interprétation graphique des résultats à travers la notion d'asymptote. Ce résumé structuré est une base solide, mais ne remplace pas une étude approfondie et la pratique régulière d'exercices, que vous pourrez retrouver dans nos ressources complètes sur Galilee.ac.

Les Formes Indéterminées (F.I.) : Le cœur du problème

Lors du calcul de limites, les opérations algébriques de base (somme, produit, quotient) s'appliquent la plupart du temps de manière intuitive. Cependant, certaines situations aboutissent à des cas où le résultat ne peut être déterminé directement. Ce sont les fameuses formes indéterminées. Elles signalent non pas une absence de limite, mais la nécessité d'une analyse plus poussée pour "lever l'indétermination".

Les quatre formes indéterminées à maîtriser

En Terminale, vous serez confrontés à quatre formes indéterminées principales :

• "+∞ - ∞" : C'est le conflit entre deux quantités infiniment grandes de signes opposés. Qui l'emporte ? Le résultat peut être un réel, +∞, -∞, ou même ne pas exister. L'issue dépend de la "force" relative de chaque terme.
• "0 × ∞" : Le produit d'une quantité qui tend vers zéro (infiniment petite) et d'une autre qui tend vers l'infini (infiniment grande). Le résultat dépend de la vitesse à laquelle l'un tend vers zéro par rapport à la vitesse à laquelle l'autre tend vers l'infini.
• "∞ / ∞" : Le quotient de deux quantités tendant vers l'infini. Là encore, c'est la comparaison de leurs vitesses de croissance qui déterminera la limite finale.
• "0 / 0" : Le quotient de deux quantités tendant vers zéro. La limite dépendra du rapport de leurs vitesses de convergence vers zéro.

Il est crucial de comprendre que ces notations sont des raccourcis pour décrire une situation limite, et non des opérations arithmétiques valides. Rencontrer une F.I. est le point de départ d'une investigation mathématique plus fine.

Stratégies et techniques pour lever une indétermination

Face à une forme indéterminée, plusieurs outils algébriques sont à votre disposition. Le choix de la méthode dépend de la nature de la fonction étudiée.

Cas des fonctions polynômes et rationnelles en l'infini

Une règle fondamentale domine le comportement des polynômes et des fonctions rationnelles (quotients de polynômes) en ±∞ : seul le terme de plus haut degré compte.

Pour un polynôme, la limite en ±∞ est égale à la limite de son monôme de plus haut degré. La technique sous-jacente est la factorisation. Par exemple, pour trouver la limite de P(x) = x³ - 2x en +∞, on factorise par x³ :
P(x) = x³(1 - 2/x²).
Lorsque x tend vers +∞, le terme 2/x² tend vers 0. L'expression entre parenthèses tend donc vers 1. La limite de P(x) est alors celle de x³, soit +∞.

Pour une fonction rationnelle, la limite en ±∞ est égale à la limite du quotient de ses termes de plus haut degré. Prenons l'exemple de f(x) = (x³ - 2x) / (x² - 3x + 1). En factorisant le numérateur et le dénominateur par leurs termes respectifs de plus haut degré, on obtient :
f(x) = [x³(1 - 2/x²)] / [x²(1 - 3/x + 1/x²)].
En simplifiant et en passant à la limite, tous les termes en 1/xⁿ tendent vers 0. Il ne reste que lim (x³/x²) = lim (x), qui vaut +∞ en +∞.

Techniques avec les fonctions contenant des radicaux

Les fonctions avec des racines carrées génèrent souvent des F.I. du type "+∞ - ∞". La méthode la plus courante est celle de la quantité conjuguée. Elle consiste à multiplier et diviser l'expression par son conjugué pour faire apparaître une identité remarquable (a-b)(a+b) = a²-b², qui élimine les racines carrées problématiques.

Pour des formes plus simples comme "∞/∞", une simplification directe peut suffire. Par exemple, pour déterminer la limite de f(x) = √x / x en +∞, on peut écrire x comme (√x)². On a alors :
f(x) = √x / (√x × √x) = 1 / √x.
Lorsque x tend vers +∞, √x tend aussi vers +∞, et son inverse 1/√x tend donc vers 0.

Le théorème des croissances comparées : une hiérarchie à l'infini

Cet ensemble de résultats est essentiel pour lever les indéterminations impliquant les fonctions exponentielles, logarithmiques et puissances. Il établit une hiérarchie claire de leur croissance à l'infini.

• L'exponentielle l'emporte sur les puissances : Pour tout entier n, lim (eˣ / xⁿ) = +∞ quand x → +∞. Réciproquement, lim (xⁿ / eˣ) = 0. Cela résout les F.I. de type "∞/∞".
• Les puissances l'emportent sur le logarithme : Pour tout entier n > 0, lim (ln(x) / xⁿ) = 0 quand x → +∞.

Ces théorèmes permettent de résoudre des F.I. du type "0 × ∞" également. Par exemple, la limite de xⁿ * eˣ en -∞ est une F.I. "∞ × 0". Le théorème des croissances comparées nous dit que cette limite est 0. De même, la limite de xⁿ * ln(x) en 0⁺ est une F.I. "0 × (-∞)", et le théorème indique qu'elle vaut 0.

Les théorèmes de comparaison : encadrer pour mieux régner

Quand un calcul direct est impossible, on peut parfois encadrer la fonction par d'autres dont les limites sont connues. C'est le principe des théorèmes de comparaison.

Théorème de minoration et de majoration

Soient deux fonctions f et g définies sur un même intervalle.

• Si f(x) ≤ g(x) et que lim f(x) = +∞, alors par comparaison, lim g(x) = +∞. Une fonction plus grande qu'une autre qui tend vers +∞ ne peut que tendre vers +∞.
• De même, si f(x) ≥ g(x) et que lim f(x) = -∞, alors par comparaison, lim g(x) = -∞.

Le théorème d'encadrement, ou Théorème des Gendarmes

C'est l'un des outils les plus puissants du chapitre. Si, sur un intervalle, on a l'encadrement h(x) ≤ g(x) ≤ f(x), et si les fonctions "gendarmes" h et f tendent vers la même limite finie L, alors la fonction "prisonnière" g est forcée de tendre également vers L. C'est très utile pour des fonctions trigonométriques, comme pour démontrer que la limite de (sin x) / x en +∞ est 0, en partant de l'encadrement -1 ≤ sin x ≤ 1.

Interprétation graphique des limites : les asymptotes

L'étude des limites n'est pas un exercice purement algébrique ; elle fournit des informations cruciales sur la géométrie de la courbe représentative de la fonction.

Asymptote verticale

Une droite d'équation x = a est une asymptote verticale à la courbe de f si la limite de f(x) est infinie (positive ou négative) lorsque x tend vers a (par la gauche ou par la droite). Graphiquement, la courbe se rapproche indéfiniment de cette droite verticale sans jamais la toucher, s'envolant vers le haut ou plongeant vers le bas.

Asymptote horizontale

Une droite d'équation y = b est une asymptote horizontale à la courbe de f en +∞ (ou -∞) si la limite de f(x) est le nombre fini b lorsque x tend vers +∞ (ou -∞). Cela signifie que, pour des valeurs de x très grandes (ou très petites), la courbe vient se "coucher" sur cette droite horizontale.

Asymptote oblique

Lorsque la fonction tend vers l'infini mais ne le fait pas "à la verticale" ou "à l'horizontale", elle peut suivre la direction d'une droite oblique. Une droite d'équation y = ax + b (avec a ≠ 0) est une asymptote oblique à la courbe de f si la différence entre f(x) et (ax+b) tend vers 0 à l'infini. Autrement dit, lim [f(x) - (ax + b)] = 0. Graphiquement, l'écart entre la courbe et la droite devient négligeable lorsque x devient très grand.

En conclusion, ce parcours à travers les concepts de limites de fonctions en Terminale Spécialité met en lumière leur rôle central en analyse. De la reconnaissance des formes indéterminées à l'application des bonnes stratégies de résolution (factorisation, croissances comparées, encadrement) jusqu'à l'interprétation graphique via les asymptotes, chaque étape est un maillon essentiel de la chaîne de raisonnement mathématique. Pour maîtriser pleinement ces notions, il est impératif de s'entraîner sur une grande variété d'exemples et d'exercices. Pour cela, n'hésitez pas à consulter la fiche de cours complète et les exercices corrigés disponibles sur Galilee.ac, qui vous permettront de solidifier vos connaissances et de vous préparer efficacement aux évaluations.