📖 Fiche résumée

Introduction à l'étude des limites de suites en Terminale

L'étude des suites numériques constitue un pilier fondamental du programme de mathématiques en classe de Terminale, spécialité Maths. Ce chapitre jette les bases de l'analyse mathématique, une branche essentielle qui sera approfondie dans l'enseignement supérieur. Comprendre le comportement d'une suite à l'infini, c'est-à-dire déterminer sa limite, est une compétence cruciale. Cela permet de modéliser des phénomènes évolutifs, de comprendre les concepts de convergence et de divergence, et de se préparer à l'étude des fonctions et des intégrales. Cette fiche de révision a pour objectif de synthétiser les concepts clés, les théorèmes majeurs et les techniques opératoires pour déterminer la limite d'une suite. Nous aborderons en particulier le défi que représentent les formes indéterminées et les méthodes pour les surmonter. Ce résumé est un guide pour structurer vos connaissances, mais ne remplace pas le travail approfondi sur des exercices variés, que vous pouvez retrouver dans notre cours complet sur Galilee.ac.

Les Quatre Formes Indéterminées (F.I.) : Le cœur du problème

Lorsqu'on cherche la limite d'une suite, on ne peut pas toujours conclure directement en appliquant les opérations sur les limites. Dans certaines configurations, le calcul direct aboutit à une impasse que l'on nomme forme indéterminée. Il est impératif de les reconnaître pour savoir quelle stratégie adopter. En voici la liste exhaustive :

• "+∞ - ∞" : L'indétermination de la somme. On ne peut pas savoir a priori lequel des deux infinis 'l'emporte'. Par exemple, la limite de 𝑛² − 𝑛 est +∞, tandis que celle de 𝑛 − 𝑛² est -∞.
• "0 × ∞" : L'indétermination du produit. Un terme qui tend vers zéro 'lutte' contre un terme qui tend vers l'infini. Le résultat dépend de la 'vitesse' à laquelle chaque terme tend vers sa limite.
• "∞ / ∞" : L'indétermination du quotient. C'est une compétition entre la croissance du numérateur et celle du dénominateur. Le résultat dépend de leurs croissances comparées.
• "0 / 0" : L'indétermination du quotient. Similaire au cas précédent, mais avec des termes qui tendent vers zéro. La vitesse de convergence vers zéro de chaque terme est déterminante.

Rencontrer une F.I. n'est pas une fin en soi, mais un signal qu'il faut transformer l'écriture de la suite pour pouvoir conclure. La suite de cette fiche détaille les techniques de 'lever' d'indétermination.

Méthodologies pour Lever les Indéterminations

La clé pour résoudre une forme indéterminée est la réécriture algébrique. Plusieurs techniques existent, et le choix de la bonne méthode dépend de la structure de la suite.

Cas des suites polynomiales et rationnelles : La factorisation par le terme de plus haut degré

Cette technique est la plus courante et s'applique aux suites dont le terme général est un polynôme ou une fraction rationnelle en 𝑛. L'idée est de mettre en évidence le terme qui 'domine' la croissance de l'expression.

Prenons une suite polynomiale comme 𝑢ₙ = 𝑛² − 2𝑛 + 1. En l'état, quand 𝑛 → +∞, nous avons une F.I. du type "+∞ - ∞". La méthode consiste à factoriser par le monôme de plus haut degré, ici 𝑛². On obtient :
𝑢ₙ = 𝑛²(1 − 2/𝑛 + 1/𝑛²)
Maintenant, étudions la limite de chaque facteur. On sait que lim (1/𝑛) = 0 et lim (1/𝑛²) = 0 quand 𝑛 → +∞. Par conséquent, le terme entre parenthèses tend vers 1 − 0 + 0 = 1. La limite de 𝑢ₙ est donc le produit des limites : lim (𝑛²) × lim (1 − 2/𝑛 + 1/𝑛²) = +∞ × 1 = +∞.
Pour une suite rationnelle, comme 𝑣ₙ = (𝑛² − 2𝑛) / (𝑛³ − 2𝑛 + 1), on a une F.I. "∞ / ∞". On applique la même méthode au numérateur et au dénominateur :
𝑣ₙ = [𝑛²(1 − 2/𝑛)] / [𝑛³(1 − 2/𝑛² + 1/𝑛³)]
On peut simplifier par 𝑛² : 𝑣ₙ = (1 − 2/𝑛) / [𝑛(1 − 2/𝑛² + 1/𝑛³)]
Le numérateur tend vers 1. Le dénominateur tend vers +∞ × 1 = +∞. Par quotient, la limite de 𝑣ₙ est 0. La règle générale à retenir est que la limite d'une suite rationnelle à l'infini est la même que la limite du quotient de ses termes de plus haut degré.

Cas des suites avec racines carrées : L'expression conjuguée

Face à une F.I. de type "+∞ - ∞" impliquant des racines carrées, la factorisation est souvent inefficace. La technique de choix est de multiplier et diviser par l'expression conjuguée. Cela permet d'utiliser l'identité remarquable (a - b)(a + b) = a² - b² pour éliminer les racines carrées problématiques.

Considérons la suite 𝑢ₙ = 𝑛 − √(𝑛² + 2). On est face à une F.I. "+∞ - ∞". Le conjugué de 𝑛 − √(𝑛² + 2) est 𝑛 + √(𝑛² + 2). Multiplions et divisons 𝑢ₙ par ce terme :
𝑢ₙ = [ (𝑛 − √(𝑛² + 2)) × (𝑛 + √(𝑛² + 2)) ] / [ 𝑛 + √(𝑛² + 2) ]
Au numérateur, on applique l'identité remarquable :
𝑢ₙ = [ 𝑛² − (𝑛² + 2) ] / [ 𝑛 + √(𝑛² + 2) ] = -2 / [ 𝑛 + √(𝑛² + 2) ]
L'indétermination a disparu. Le numérateur est constant et vaut -2. Le dénominateur, 𝑛 + √(𝑛² + 2), tend clairement vers +∞ quand 𝑛 → +∞. Par quotient, la limite de 𝑢ₙ est 0.

Cas des suites exponentielles : La factorisation par le terme dominant

Quand une suite met en jeu des termes de la forme 𝑎ⁿ (suites géométriques), une F.I. "+∞ - ∞" ou "∞ / ∞" peut apparaître. La stratégie est similaire à celle des polynômes : on factorise par le terme qui croît le plus vite, c'est-à-dire celui avec la plus grande base (en valeur absolue).

Soit la suite 𝑢ₙ = 5ⁿ − 3ⁿ. C'est une F.I. "+∞ - ∞". La base la plus élevée est 5. Factorisons par 5ⁿ :
𝑢ₙ = 5ⁿ [ 1 − (3ⁿ / 5ⁿ) ] = 5ⁿ [ 1 − (3/5)ⁿ ]
On s'appuie ici sur la limite des suites géométriques : lim (𝑞ⁿ) = 0 si |𝑞| < 1. Comme |3/5| < 1, on a lim (3/5)ⁿ = 0. Le terme entre crochets tend donc vers 1 − 0 = 1. La limite de 𝑢ₙ est alors le produit des limites : lim (5ⁿ) × lim [ 1 − (3/5)ⁿ ] = +∞ × 1 = +∞. Cette méthode est systématique et très efficace pour ce type de suites.

Les Théorèmes Fondamentaux de Convergence

Certaines suites ne peuvent être étudiées par simple manipulation algébrique. Leur comportement est alors déterminé en les comparant à d'autres suites plus simples, ou en étudiant leurs propriétés de monotonie et de bornes. Trois théorèmes sont au cœur de cette approche.

Le Théorème des Gendarmes : Encadrer pour conclure

Ce théorème, aussi appelé théorème de l'encadrement ou 'Squeeze Theorem' en anglais, est d'une grande puissance. Il stipule que si une suite (𝑣ₙ) est 'prise en sandwich' entre deux autres suites (𝑢ₙ et 𝑤ₙ) qui convergent vers la même limite L, alors (𝑣ₙ) est forcée de converger également vers L.
Formellement : Si, à partir d'un certain rang, on a 𝑢ₙ ≤ 𝑣ₙ ≤ 𝑤ₙ, et si lim 𝑢ₙ = lim 𝑤ₙ = L, alors lim 𝑣ₙ = L.
Ce théorème est particulièrement utile pour les suites faisant intervenir des fonctions périodiques bornées comme sinus et cosinus. Par exemple, pour la suite 𝑣ₙ = (cos(𝑛)) / 𝑛, on ne peut pas calculer la limite directement car cos(𝑛) n'a pas de limite. Cependant, on sait que pour tout 𝑛 > 0, -1 ≤ cos(𝑛) ≤ 1. En divisant par 𝑛 (qui est positif), on obtient :
-1/𝑛 ≤ (cos(𝑛)) / 𝑛 ≤ 1/𝑛
Ici, 𝑢ₙ = -1/𝑛 et 𝑤ₙ = 1/𝑛. Les deux 'gendarmes' 𝑢ₙ et 𝑤ₙ tendent vers 0. Par le théorème des gendarmes, on conclut que lim 𝑣ₙ = 0.

Le Théorème de Comparaison : Déduire la divergence

Les théorèmes de comparaison permettent de déduire le comportement d'une suite en la comparant à une autre dont on connaît la limite (souvent infinie).
1. Si, à partir d'un certain rang, 𝑢ₙ ≥ 𝑣ₙ et que lim 𝑣ₙ = +∞, alors lim 𝑢ₙ = +∞. (Si une suite est plus grande qu'une autre qui devient infiniment grande, elle doit aussi devenir infiniment grande).
2. Si, à partir d'un certain rang, 𝑢ₙ ≤ 𝑣ₙ et que lim 𝑣ₙ = -∞, alors lim 𝑢ₙ = -∞.
Ces théorèmes sont utiles pour les suites qui oscillent mais dont la tendance générale est la divergence vers l'infini. Prenons 𝑢ₙ = 𝑛 + sin(𝑛). On sait que -1 ≤ sin(𝑛), donc 𝑛 − 1 ≤ 𝑛 + sin(𝑛). On pose 𝑣ₙ = 𝑛 − 1. Clairement, lim 𝑣ₙ = +∞. Puisque 𝑢ₙ ≥ 𝑣ₙ, on peut conclure par comparaison que lim 𝑢ₙ = +∞.

Le Théorème de la Limite Monotone : La convergence garantie

Ce théorème est un résultat d'existence fondamental. Il ne donne pas la valeur de la limite, mais il garantit son existence sous certaines conditions.
1. Toute suite croissante et majorée est convergente. (Une suite qui ne fait qu'augmenter mais ne peut pas dépasser une certaine valeur est obligée de se 'tasser' vers une limite).
2. Toute suite décroissante et minorée est convergente. (De même, une suite qui ne fait que baisser mais ne peut aller en dessous d'une certaine valeur doit converger).
Pour utiliser ce théorème, il faut donc démontrer deux propriétés de la suite : sa monotonie (est-elle croissante ou décroissante ?) et l'existence d'une borne (est-elle majorée ou minorée ?). C'est la méthode de choix pour étudier les suites définies par une relation de récurrence du type 𝑢ₙ₊₁ = f(𝑢ₙ). L'étude de la monotonie se fait souvent en analysant le signe de 𝑢ₙ₊₁ − 𝑢ₙ, et la preuve de l'existence d'une borne se fait typiquement par récurrence.

Conclusion : Une boîte à outils pour l'analyse

La détermination des limites de suites est un exercice de reconnaissance de formes et d'application de la bonne technique. Face à une suite, la première étape est de tenter le calcul direct. Si une forme indéterminée apparaît, il faut analyser la structure de la suite pour choisir la méthode de lever d'indétermination la plus adaptée : factorisation par le terme de plus haut degré, utilisation de la quantité conjuguée, ou factorisation par le terme dominant. Si ces techniques échouent, il faut alors se tourner vers les théorèmes de comparaison, d'encadrement ou de la limite monotone. Cette fiche synthétise ces stratégies, mais seule une pratique régulière et la résolution d'un grand nombre d'exercices permettent de développer l'intuition nécessaire pour naviguer avec aisance dans ce chapitre essentiel. Pour des démonstrations complètes, des exemples plus complexes et des exercices corrigés pour vous entraîner, consultez la fiche de cours et d'exercices détaillée disponible sur Galilee.ac.