📖 Fiche résumée

Introduction aux Fonctions Affines : Un Pilier des Mathématiques de Seconde

Les fonctions affines constituent l'un des chapitres fondamentaux du programme de mathématiques de la classe de Seconde. Elles représentent la première exploration approfondie des relations linéaires qui modélisent une multitude de phénomènes, que ce soit en physique, en économie ou dans la vie de tous les jours. Comprendre leur fonctionnement est essentiel pour construire des bases solides pour les études mathématiques futures, notamment l'analyse de fonctions plus complexes. Cette page a pour but de vous offrir une synthèse structurée et détaillée des concepts clés relatifs aux fonctions affines. Nous aborderons leur définition, leur représentation graphique, l'étude de leurs variations et de leur signe, ainsi que les méthodes pour déterminer leur expression algébrique. Bien que ce texte soit conçu pour être exhaustif, il sert de résumé : pour des exemples détaillés et des exercices d'application, la consultation de la fiche de cours complète sur Galilee.ac est vivement recommandée.

Définition et Expression Algébrique d'une Fonction Affine

La Formule Générale : f(x) = ax + b

Une fonction affine, notée f, est une fonction définie sur l'ensemble des nombres réels (ℝ) qui, à tout nombre x, associe le nombre f(x) = ax + b. Dans cette expression, a et b sont deux nombres réels fixes qui caractérisent la fonction.

• x : C'est la variable de la fonction, également appelée l'antécédent.
• f(x) : C'est l'image de x par la fonction f. Dans un repère, on le note souvent y, ce qui donne l'équation de droite y = ax + b.
• a : C'est le coefficient directeur (ou la pente). Ce nombre est crucial car il indique la direction et l'inclinaison de la droite représentant la fonction. Il exprime le taux de variation de f(x) par rapport à x. Concrètement, lorsque x augmente d'une unité, f(x) varie de a unités.
• b : C'est l'ordonnée à l'origine. Ce terme désigne la valeur de la fonction lorsque x est égal à 0 (f(0) = a*0 + b = b). Graphiquement, c'est le point où la droite coupe l'axe des ordonnées (l'axe vertical).

Cas Particuliers Importants

L'expression générale f(x) = ax + b englobe deux autres types de fonctions très courantes :

• La fonction linéaire : Si b = 0, l'expression devient f(x) = ax. Il s'agit d'une fonction linéaire. Sa représentation graphique est une droite qui passe impérativement par l'origine du repère (le point de coordonnées (0,0)). Elle modélise des situations de proportionnalité directe.
• La fonction constante : Si a = 0, l'expression se simplifie en f(x) = b. C'est une fonction constante. Quelle que soit la valeur de x, son image est toujours b. Sa représentation graphique est une droite horizontale parallèle à l'axe des abscisses, coupant l'axe des ordonnées au point de hauteur b.

Représentation Graphique et Interprétation

La Droite comme Signature Visuelle

Dans un repère orthonormé (O, i, j), la représentation graphique d'une fonction affine f(x) = ax + b est toujours une droite, que l'on note souvent 𝓒f. Chaque point de cette droite a pour coordonnées (x, f(x)). Pour tracer cette droite, il suffit de connaître deux points distincts.

Une méthode efficace consiste à :

1. Placer l'ordonnée à l'origine : Le premier point est facile à trouver, c'est le point de coordonnées (0, b).
2. Utiliser le coefficient directeur : À partir du premier point (0, b), on utilise la pente a pour trouver un second point. Le coefficient directeur a peut s'écrire comme une fraction Δy/Δx ("déplacement vertical" / "déplacement horizontal"). Par exemple, si a = 2, cela signifie qu'en avançant de 1 unité vers la droite sur l'axe des abscisses, on doit monter de 2 unités sur l'axe des ordonnées pour retrouver la droite. Si a = -1/3, en avançant de 3 unités vers la droite, on doit descendre d'une unité.

Interprétation Graphique des Coefficients 'a' et 'b'

Le simple fait de regarder la droite 𝓒f permet de déduire des informations sur a et b :

• Le signe de 'a' : Si la droite "monte" de gauche à droite, alors a > 0. Si elle "descend", alors a < 0. Si elle est horizontale, a = 0.
• La valeur de 'a' : Plus la droite est "pentue" (proche de la verticale), plus la valeur absolue de a est grande. Une pente faible correspond à une valeur de a proche de zéro.
• La valeur de 'b' : Il suffit de regarder le point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées (l'axe vertical). La coordonnée y de ce point est la valeur de b.

Analyse des Propriétés d'une Fonction Affine

Sens de Variation : L'Influence du Coefficient Directeur

Le sens de variation d'une fonction nous indique si elle est croissante, décroissante ou constante. Pour une fonction affine, tout dépend du signe de son coefficient directeur a.

• Si a > 0 : La fonction f est strictement croissante sur ℝ. Cela signifie que pour deux nombres réels x1 et x2, si x1 < x2, alors f(x1) < f(x2).
• Si a < 0 : La fonction f est strictement décroissante sur ℝ. Cela signifie que pour deux nombres réels x1 et x2, si x1 < x2, alors f(x1) > f(x2).
• Si a = 0 : La fonction f est constante sur ℝ. Pour tous les réels x, f(x) = b.

Étude du Signe de f(x) et Tableau de Signe

Étudier le signe d'une fonction affine f(x) = ax + b revient à déterminer pour quelles valeurs de x la fonction est positive (f(x) > 0), négative (f(x) < 0) ou nulle (f(x) = 0). Graphiquement, cela correspond aux intervalles où la droite 𝓒f se trouve au-dessus, en dessous ou sur l'axe des abscisses.

La première étape est de trouver la valeur de x qui annule la fonction. C'est ce qu'on appelle la racine de la fonction.

f(x) = 0 ⇔ ax + b = 0 ⇔ ax = -b ⇔ x = -b/a

Une fois cette racine trouvée, on peut construire le tableau de signe. Ce tableau synthétise le signe de l'expression ax + b en fonction de x.

Cas 1 : a > 0 (Fonction croissante)

La fonction est croissante, elle passe donc des valeurs négatives aux valeurs positives en traversant l'axe des abscisses en x = -b/a.

• Pour x < -b/a, la fonction est négative.
• Pour x > -b/a, la fonction est positive.

Le tableau de signe est donc :

x | -∞ -b/a +∞

ax+b | - 0 +

Cas 2 : a < 0 (Fonction décroissante)

La fonction est décroissante, elle passe des valeurs positives aux valeurs négatives en x = -b/a.

• Pour x < -b/a, la fonction est positive.
• Pour x > -b/a, la fonction est négative.

Le tableau de signe est donc :

x | -∞ -b/a +∞

ax+b | + 0 -

Un moyen mnémotechnique simple est de se rappeler que le signe de ax+b est "le signe de a à droite de la racine" et le signe contraire à gauche.

Détermination de l'Expression d'une Fonction Affine par le Calcul

En pratique, on est souvent amené à trouver l'expression f(x) = ax + b à partir d'informations données, comme les coordonnées de deux points appartenant à sa droite représentative.

Étape 1 : Calculer le Coefficient Directeur 'a'

Si l'on connaît deux points distincts A(xA, yA) et B(xB, yB) de la droite 𝓒f, ou de manière équivalente, si l'on sait que f(xA) = yA et f(xB) = yB, on peut calculer le coefficient directeur a grâce à la formule du taux d'accroissement :

a = (yB - yA) / (xB - xA)

Cette formule mesure la variation des ordonnées (verticale) divisée par la variation des abscisses (horizontale) entre les points A et B. Il est crucial de bien respecter l'ordre des points dans la soustraction au numérateur et au dénominateur.

Étape 2 : Calculer l'Ordonnée à l'Origine 'b'

Une fois la valeur de a déterminée, on connaît une partie de l'expression : f(x) = ax + b. Pour trouver b, il suffit d'utiliser les coordonnées de l'un des points connus (A ou B). Par exemple, avec le point A(xA, yA), on sait que ses coordonnées vérifient l'équation de la droite.

On a donc : yA = a * xA + b

Il ne reste plus qu'à isoler b dans cette équation :

b = yA - a * xA

En remplaçant yA, a, et xA par leurs valeurs numériques, on obtient la valeur de b. On peut vérifier le calcul en utilisant les coordonnées du point B, qui doit donner le même résultat.

Conclusion

La maîtrise des fonctions affines est une compétence indispensable en classe de Seconde. Savoir identifier leur expression, tracer leur droite représentative, analyser leur sens de variation et leur signe, et enfin, déterminer leurs coefficients par le calcul, sont autant d'outils qui seront réutilisés constamment dans la suite de votre parcours en mathématiques. Ce résumé vous a fourni les définitions, formules et méthodes essentielles. Pour approfondir votre compréhension et vous entraîner avec des cas concrets, la fiche de cours complète de Galilee.ac, incluant des exercices corrigés, est l'outil idéal pour vous accompagner vers la réussite.