📖 Fiche résumée

Introduction à l'étude des fonctions en Seconde

L'étude de fonctions est un pilier fondamental du programme de mathématiques au lycée, et tout particulièrement en classe de Seconde. C'est un chapitre qui jette les bases de l'analyse, un domaine qui vous suivra tout au long de votre parcours scientifique. Comprendre ce qu'est une fonction, son vocabulaire associé et sa représentation graphique est essentiel pour aborder sereinement les chapitres futurs. Cette page a pour but de vous offrir une synthèse détaillée des concepts clés abordés dans notre fiche de cours, pour vous aider à maîtriser les notions d'image, d'antécédent, la résolution graphique d'équations et le sens de variation. Cet article est un complément textuel approfondi à notre fiche de synthèse visuelle, qui vous permettra de consolider vos connaissances.

Définition et vocabulaire essentiel d'une fonction

Avant de se plonger dans les graphiques et les calculs, il est crucial de bien définir ce qu'est une fonction et de maîtriser le vocabulaire qui l'accompagne.

Qu'est-ce qu'une fonction numérique ?

Imaginez une fonction comme une sorte de "machine" ou un programme de calcul. Vous lui donnez un nombre en entrée (appelé variable, souvent noté 𝒙), elle effectue une série d'opérations définies par son expression algébrique, et elle vous retourne un unique nombre en sortie. Ce processus de transformation est au cœur de la notion de fonction.

Formellement, une fonction 𝒇 est un processus qui, à chaque nombre 𝒙 d'un ensemble de départ (appelé ensemble de définition ou domaine de définition), associe un unique nombre 𝒚. On note cette relation de plusieurs manières :

• Notation fléchée : 𝒇: 𝒙 ⟼ 𝒇(𝒙), qui se lit "la fonction f qui à x associe f(x)".
• Notation égalité : 𝒚 = 𝒇(𝒙), qui met en évidence la relation entre la variable 𝒙 et le résultat 𝒚.

Image et Antécédent : Le duo inséparable

Ce sont les deux termes de vocabulaire les plus importants à ce stade. Leur compréhension est non négociable.

• L'image : Si on a 𝒚 = 𝒇(𝒙), on dit que 𝒚 est l'image de 𝒙 par la fonction 𝒇. C'est le résultat obtenu après être passé dans la "machine" 𝒇. Un nombre 𝒙 ne peut avoir qu'une seule et unique image. C'est la définition même d'une fonction.
• L'antécédent : Inversement, si 𝒚 = 𝒇(𝒙), on dit que 𝒙 est un antécédent de 𝒚 par la fonction 𝒇. C'est le nombre de départ qui a permis d'obtenir 𝒚. Attention, un nombre 𝒚 peut avoir un, plusieurs, ou même aucun antécédent.

Prenons l'exemple concret donné dans notre fiche de cours : si pour une certaine fonction 𝒇, on a l'égalité « 𝒇(𝟐) = −𝟑𝟑 », cela se traduit par :

• « −𝟑 est l’image de 𝟐 par la fonction 𝒇. »
• « 𝟐 est un antécédent de −𝟑 par la fonction 𝒇. »

Calculs d'images et d'antécédents

Pour une fonction donnée par son expression algébrique, comme 𝒇(𝒙) = 𝒙² − 𝟓𝒙 + 𝟑 :

• Pour calculer l'image de 4, il suffit de remplacer 𝒙 par 4 dans l'expression : 𝒇(𝟒) = 𝟒² − 𝟓(𝟒) + 𝟑 = 16 − 20 + 3 = −1. L'image de 4 est -1.
• Pour trouver les antécédents de 3, on doit résoudre l'équation 𝒇(𝒙) = 𝟑. Cela revient à résoudre 𝒙² − 𝟓𝒙 + 𝟑 = 𝟑, soit 𝒙² − 𝟓𝒙 = 𝟎. En factorisant, on obtient 𝒙(𝒙 − 𝟓) = 𝟎, ce qui donne deux solutions : 𝒙 = 𝟎 et 𝒙 = 𝟓. Le nombre 3 a donc deux antécédents par 𝒇 : 0 et 5.

Approche graphique : Visualiser une fonction

La représentation graphique d'une fonction, notée 𝓒𝒇, est un outil visuel extrêmement puissant. C'est l'ensemble de tous les points de coordonnées (𝒙; 𝒚) du plan tels que 𝒚 = 𝒇(𝒙).

Lecture graphique des images et antécédents

Savoir lire une image et un antécédent sur un graphique est une compétence fondamentale. Les règles, illustrées dans notre fiche mémo, sont les suivantes :

• Les antécédents se lisent toujours sur l'axe des abscisses (l'axe horizontal, l'axe des 𝒙).
• Les images se lisent toujours sur l'axe des ordonnées (l'axe vertical, l'axe des 𝒚).

Comment lire l'image d'un nombre 𝒂 ?

1. On se place sur l'axe des abscisses à la valeur 𝒙 = 𝒂.
2. On se déplace verticalement (vers le haut ou vers le bas) jusqu'à rencontrer la courbe 𝓒𝒇.
3. À partir de ce point d'intersection, on se déplace horizontalement jusqu'à l'axe des ordonnées.
4. La valeur 𝒃 lue sur l'axe des ordonnées est l'image de 𝒂 : 𝒇(𝒂) = 𝒃.

Comment lire le ou les antécédents d'un nombre 𝒌 ?

1. On se place sur l'axe des ordonnées à la valeur 𝒚 = 𝒌.
2. On trace mentalement une ligne horizontale d'équation 𝒚 = 𝒌.
3. On repère tous les points d'intersection de cette ligne avec la courbe 𝓒𝒇.
4. Pour chaque point d'intersection, on lit son abscisse en se déplaçant verticalement vers l'axe des 𝒙.
5. L'ensemble des abscisses trouvées constitue l'ensemble des antécédents de 𝒌.

Résolution graphique d'équations et inéquations

Le graphique d'une fonction permet de résoudre de manière intuitive des équations et inéquations qui seraient parfois complexes à résoudre par le calcul.

Résoudre l'équation 𝒇(𝒙) = 𝒌

Résoudre graphiquement l'équation 𝒇(𝒙) = 𝒌 revient à chercher les antécédents du nombre 𝒌. Comme vu précédemment, la méthode consiste à :

1. Tracer la droite horizontale d'équation 𝒚 = 𝒌.
2. Identifier les abscisses de tous les points d'intersection entre la courbe 𝓒𝒇 et cette droite.

L'ensemble des solutions, noté 𝓢, est l'ensemble de ces abscisses. Par exemple, si la droite 𝒚 = 𝒌 coupe la courbe en deux points d'abscisses 𝒂 et 𝒃, alors 𝓢 = {𝒂; 𝒃}.

Résoudre une inéquation du type 𝒇(𝒙) > 𝒌

Résoudre graphiquement une inéquation comme 𝒇(𝒙) > 𝒌, c'est identifier toutes les valeurs de 𝒙 pour lesquelles la courbe 𝓒𝒇 se situe strictement au-dessus de la droite horizontale 𝒚 = 𝒌.

La méthode est la suivante :

1. On trace la courbe 𝓒𝒇 et la droite 𝒚 = 𝒌.
2. On surligne les portions de la courbe 𝓒𝒇 qui sont situées au-dessus de la droite.
3. On lit sur l'axe des abscisses les intervalles correspondant à ces portions de courbe.

Par exemple, si la courbe est au-dessus de la droite pour les 𝒙 compris entre 𝒂 et 𝒃 (valeurs exclues), l'ensemble des solutions sera l'intervalle ouvert 𝓢 = ]𝒂; 𝒃[. La distinction entre inégalité stricte (>, <) et large (≥, ≤) est cruciale pour déterminer si les bornes de l'intervalle sont incluses (crochets fermés) ou exclues (crochets ouverts).

Sens de variation d'une fonction

Étudier les variations d'une fonction, c'est déterminer les intervalles sur lesquels elle est croissante, décroissante ou constante. Cette notion est intimement liée à la comparaison des images.

Fonction croissante et décroissante

• Une fonction 𝒇 est dite croissante sur un intervalle 𝑰 si, pour tous nombres 𝒂 et 𝒃 de 𝑰 tels que 𝒂 < 𝒃, on a 𝒇(𝒂) ≤ 𝒇(𝒃). Autrement dit, la fonction conserve l'ordre. Graphiquement, la courbe "monte" de gauche à droite.
• Une fonction 𝒇 est dite décroissante sur un intervalle 𝑰 si, pour tous nombres 𝒂 et 𝒃 de 𝑰 tels que 𝒂 < 𝒃, on a 𝒇(𝒂) ≥ 𝒇(𝒃). Autrement dit, la fonction inverse l'ordre. Graphiquement, la courbe "descend" de gauche à droite.

Application à la comparaison d'images

Connaître le sens de variation d'une fonction est un outil puissant pour comparer les images de deux nombres sans avoir à les calculer. C'est une compétence essentielle pour l'encadrement de valeurs.

• Si 𝒇 est croissante sur 𝑰 et que 𝒂, 𝒃 sont dans 𝑰 avec 𝒂 ≤ 𝒃, alors on peut directement conclure que 𝒇(𝒂) ≤ 𝒇(𝒃).
• Si 𝒇 est décroissante sur 𝑰 et que 𝒂, 𝒃 sont dans 𝑰 avec 𝒂 ≤ 𝒃, alors on peut directement conclure que 𝒇(𝒂) ≥ 𝒇(𝒃).

Cette propriété est au cœur de nombreux raisonnements d'analyse et sera réutilisée constamment dans les classes supérieures.

En résumé, les généralités sur les fonctions en classe de Seconde posent les bases de votre future compréhension des mathématiques. La maîtrise du vocabulaire, de la lecture graphique et de l'analyse des variations est indispensable. Pour une vision synthétique et schématique de tous ces points, n'hésitez pas à consulter la fiche de cours complète sur Galilee.ac, qui illustre parfaitement ces concepts pour une mémorisation optimale.