📖 Fiche résumée

Introduction à l'Arithmétique en Seconde

L'arithmétique est une branche fondamentale des mathématiques qui étudie les nombres entiers et leurs propriétés. En classe de Seconde, ce chapitre constitue un socle essentiel pour la suite de votre parcours scientifique. Il permet de consolider les bases acquises au collège et d'introduire de nouveaux concepts indispensables à la manipulation des nombres, à la résolution de problèmes et à la compréhension de structures mathématiques plus complexes comme l'algèbre. Cette fiche de cours a pour objectif de synthétiser les notions clés de l'arithmétique au programme de Seconde. Nous aborderons la division euclidienne, les multiples et diviseurs, les critères de divisibilité, la parité, les nombres premiers, ainsi qu'une introduction au PGCD et au PPCM. Ce résumé est conçu pour vous offrir une vision structurée du chapitre, mais il ne remplace pas le cours détaillé et les exercices d'application qui sont cruciaux pour une maîtrise parfaite. Sur Galilee.ac, nous vous proposons une exploration complète de ces thèmes pour garantir votre réussite.

La Division Euclidienne : Le Fondement de l'Arithmétique

Toute l'étude des relations entre les nombres entiers commence par une opération que vous connaissez depuis l'école primaire : la division. Cependant, en arithmétique, nous la formalisons sous le nom de division euclidienne. Elle est au cœur de nombreuses démonstrations et algorithmes.

Définition et Égalité Fondamentale

La division euclidienne consiste à diviser un nombre entier, appelé le dividende (noté 𝒂), par un autre nombre entier non nul, le diviseur (noté 𝒃). Cette opération donne un quotient entier (noté 𝒒) et un reste entier naturel (noté 𝒓). La relation qui lie ces quatre nombres est l'égalité fondamentale de la division euclidienne :

𝒂 = 𝒃 × 𝒒 + 𝒓

Cette formule est assortie de conditions très importantes sur les nombres impliqués :

• Le dividende 𝒂, le diviseur 𝒃 et le quotient 𝒒 sont des entiers relatifs (ils appartiennent à l'ensemble ℤ).
• Le reste 𝒓 est un entier naturel (il appartient à l'ensemble ℕ), ce qui signifie qu'il est toujours positif ou nul.
• De plus, une condition implicite mais cruciale est que le reste 𝒓 doit toujours être strictement inférieur à la valeur absolue du diviseur 𝒃 (0 ≤ 𝒓 < |𝒃|). C'est cette condition qui garantit l'unicité du couple (𝒒, 𝒓) pour un 𝒂 et un 𝒃 donnés.

Par exemple, effectuons la division euclidienne de 37 par 5. On cherche combien de fois on peut mettre 5 dans 37. On trouve 7 fois, car 5 × 7 = 35. Il reste alors 2 (car 37 - 35 = 2). On écrit donc :

37 = 5 × 7 + 2

Ici, 𝒂 = 37, 𝒃 = 5, 𝒒 = 7 et 𝒓 = 2. On vérifie bien que le reste 2 est un entier naturel et qu'il est strictement inférieur au diviseur 5.

Multiples et Diviseurs : Explorer les Relations entre Nombres

La division euclidienne nous mène directement aux concepts de multiple et de diviseur. Ces notions décrivent les relations de divisibilité entre les entiers.

Définition Formelle

On dit qu'un entier 𝒂 est un multiple d'un entier 𝒃 (avec 𝒃 non nul) s'il existe un entier 𝒒 tel que :

𝒂 = 𝒃 × 𝒒

Dans ce cas, on peut aussi dire que 𝒃 est un diviseur de 𝒂, ou que 𝒂 est divisible par 𝒃. Autrement dit, la divisibilité correspond à une division euclidienne dont le reste est nul (𝒓 = 0). Par exemple, 42 est un multiple de 6 car 42 = 6 × 7. Donc, 6 est un diviseur de 42, et 7 en est un autre.

Comment Trouver l'Ensemble des Diviseurs d'un Entier ?

Pour trouver tous les diviseurs positifs d'un entier 𝑵, il n'est pas nécessaire de tester tous les nombres de 1 à 𝑵. Une méthode bien plus efficace consiste à tester tous les entiers en partant de 1 jusqu'à la racine carrée de 𝑵 (√𝑵).

La logique est la suivante : si un nombre 𝒅 est un diviseur de 𝑵, alors le résultat de la division, 𝑵/𝒅, est aussi un diviseur. Si 𝒅 est plus petit que √𝑵, alors 𝑵/𝒅 sera plus grand que √𝑵. En testant les diviseurs jusqu'à √𝑵, on trouve donc les diviseurs par paires (𝒅 et 𝑵/𝒅).

Exemple : trouvons les diviseurs de 60.

1. On calcule √60 ≈ 7,74. Il faut donc tester tous les entiers de 1 à 7.
2. Test 1 : 60 ÷ 1 = 60. On a la paire de diviseurs (1, 60).
3. Test 2 : 60 ÷ 2 = 30. On a la paire (2, 30).
4. Test 3 : 60 ÷ 3 = 20. On a la paire (3, 20).
5. Test 4 : 60 ÷ 4 = 15. On a la paire (4, 15).
6. Test 5 : 60 ÷ 5 = 12. On a la paire (5, 12).
7. Test 6 : 60 ÷ 6 = 10. On a la paire (6, 10).
8. Test 7 : 60 n'est pas divisible par 7.

L'ensemble des diviseurs positifs de 60 est donc : {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}. Cette méthode est un gain de temps considérable, surtout pour les grands nombres. La fiche de cours sur Galilee.ac vous propose d'autres exemples pour vous familiariser avec cette technique.

Critères de Divisibilité et Parité

Pour déterminer rapidement si un nombre est divisible par un autre sans poser la division, on utilise des astuces appelées critères de divisibilité. Ce sont des raccourcis précieux en calcul mental et en résolution de problèmes.

Les Critères Essentiels

• Divisibilité par 2 : Un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8. C'est la définition même d'un nombre pair.
• Divisibilité par 3 : Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3. Exemple : pour 543, la somme est 5 + 4 + 3 = 12. Comme 12 est un multiple de 3, alors 543 est divisible par 3.
• Divisibilité par 5 : Un nombre est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.
• Divisibilité par 10 : Un nombre est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0.
• Divisibilité par 6 : Un nombre est divisible par 6 s'il respecte à la fois le critère de divisibilité par 2 ET par 3. En effet, 6 = 2 × 3. Par exemple, 138 est pair (divisible par 2) et la somme de ses chiffres est 1+3+8=12 (divisible par 3), donc 138 est divisible par 6.

La Notion de Parité

La parité est la propriété d'un entier d'être pair ou impair. C'est le cas le plus simple de divisibilité.

• Un nombre pair est un multiple de 2. Il peut s'écrire sous la forme 𝒂 = 2𝒌, où 𝒌 est un entier.
• Un nombre impair n'est pas un multiple de 2. Sa division par 2 donne un reste de 1. Il peut donc s'écrire sous la forme 𝒂 = 2𝒌 + 1, où 𝒌 est un entier.

La parité est un outil très puissant dans les démonstrations arithmétiques. Comprendre comment la parité se comporte avec l'addition et la multiplication est une compétence clé.

Les Nombres Premiers : Les Atomes des Nombres Entiers

Les nombres premiers occupent une place centrale en arithmétique. Ils sont les 'briques' élémentaires à partir desquelles tous les autres nombres entiers (non premiers) peuvent être construits par multiplication.

Définition d'un Nombre Premier

Un nombre entier est dit premier s'il possède exactement deux diviseurs positifs distincts : 1 et lui-même.

• Exemple : 7 est un nombre premier. Ses seuls diviseurs positifs sont 1 et 7. La seule multiplication d'entiers positifs donnant 7 est 1 × 7.
• Contre-exemple : 6 n'est pas premier. Ses diviseurs sont 1, 2, 3 et 6. Il a plus de deux diviseurs.

Voici la liste des premiers nombres premiers, à connaître par cœur : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...

Remarques importantes :

• Le nombre 1 n'est pas premier car il n'a qu'un seul diviseur positif : lui-même.
• Le nombre 2 est le seul nombre premier pair. Tous les autres nombres pairs sont divisibles par 2 et ne peuvent donc pas être premiers.

L'étude des nombres premiers mène au Théorème Fondamental de l'Arithmétique, qui stipule que tout entier supérieur à 1 peut être décomposé de manière unique en un produit de facteurs premiers. Cette décomposition est un outil surpuissant en arithmétique.

Introduction au PGCD et au PPCM

La fiche de cours mentionne deux autres concepts fondamentaux qui découlent de la notion de diviseur et de multiple : le PGCD et le PPCM.

Le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD)

Le PGCD de deux entiers non nuls est, comme son nom l'indique, le plus grand entier qui les divise tous les deux. Pour le trouver, on peut lister tous les diviseurs de chaque nombre et identifier le plus grand qu'ils ont en commun.

Exemple : Cherchons le PGCD de 24 et 36.

• Diviseurs de 24 : {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
• Diviseurs de 36 : {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

Le plus grand diviseur commun est 12. Donc, PGCD(24, 36) = 12.

Le Plus Petit Commun Multiple (PPCM)

Le PPCM de deux entiers non nuls est le plus petit entier positif qui est un multiple de ces deux nombres. Pour le trouver, on peut lister les premiers multiples de chaque nombre jusqu'à trouver le premier en commun.

Exemple : Cherchons le PPCM de 8 et 12.

• Multiples de 8 : {8, 16, 24, 32, 40, ...}
• Multiples de 12 : {12, 24, 36, 48, ...}

Le plus petit multiple commun est 24. Donc, PPCM(8, 12) = 24.

Ces deux outils sont essentiels pour simplifier des fractions ou pour résoudre des problèmes de synchronisation (par exemple, des engrenages ou des événements périodiques).

Conclusion : Une Maîtrise Indispensable

L'arithmétique en classe de Seconde revisite et approfondit des notions essentielles pour la compréhension des mathématiques. De la division euclidienne qui structure les relations entre les nombres, aux nombres premiers qui en sont les constituants fondamentaux, en passant par les outils pratiques que sont les critères de divisibilité, le PGCD et le PPCM, chaque concept de ce chapitre est une pierre angulaire pour l'avenir. Ce résumé vous a présenté les définitions et les idées principales. Pour une compréhension complète, des démonstrations détaillées et la capacité à résoudre des exercices complexes, il est indispensable de consulter la fiche de cours complète. Téléchargez la fiche résumée sur l'arithmétique de Seconde sur Galilee.ac pour accéder à des explications approfondies, des exemples illustratifs et des astuces pour maîtriser ce chapitre fondamental.