10. Trouver une expression avec 2 points

Introduction

Commençons par le premier cas où nous cherchons l'expression d'une fonction affine. C'est ce qui manque dans mon énoncé car je cherche à gagner un peu de place. La fonction \(f\) ici est forcément une fonction affine pour pouvoir la trouver grâce à deux points. Les fonctions affines nous donnent des droites, donc combien de points avons-nous besoin pour faire une droite ? Juste deux. C'est pour cela que si c'est une autre fonction, il n'est pas possible de l'obtenir avec deux points. Nous sommes donc dans le cas des fonctions affines ou linéaires.

Calcul du coefficient directeur

Je vous rappelle que dans les compétences précédentes, nous avons calculé le coefficient directeur. Maintenant, nous allons essayer de calculer à la fois le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine. Une fonction affine est de la forme \(Ax + B\) ou \(Mx + P\), ce sont les deux notations que l'on retrouve dans les cours. À chaque fois, il faut chercher la valeur de \(A\) et la valeur de \(B\). Pour calculer le coefficient directeur, j'utilise la même méthodologie que précédemment. Je prends mon \(Y_B\) (la deuxième coordonnée de mon point B) et je fais la différence avec \(Y_A\) (la première coordonnée de mon point A), le tout divisé par la différence entre \(X_B\) et \(X_A\). Dans ce cas, \(Y_B\) est -1 et \(X_B\) est 4, donc j'obtiens \(-3/3 = -1\).

Calcul de l'ordonnée à l'origine

Maintenant, il me manque mon \(B\), l'ordonnée à l'origine. Pour le calculer, je vais utiliser le point \(A\) et l'intégrer dans cette fonction. Pourquoi ? Parce que si ça appartient à ma droite, alors les coordonnées de mon point \(A\) sont en fait \(f(x)\) pour les \(y\) et \(x\) pour les \(x\). Donc, je vais remplacer \(f(x)\) par 2 et \(x\) par 1 dans mon expression \(-x + B\). Cela me donne l'équation \(-1 + B = 2\), que je peux résoudre pour obtenir \(B = 3\).

Conclusion

Donc, j'ai mon \(B\), j'ai mon \(A\), il ne me reste plus qu'à conclure et à donner l'expression de la fonction \(f\). Donc, \(f(x) = -x + 3\). Voilà comment on trouve l'expression d'une fonction affine à partir de deux points. La première étape est de calculer le coefficient directeur. Une fois que nous avons le coefficient directeur, nous le plaçons dans l'expression \(f(x) = Ax + B\). Il ne reste plus que l'inconnue \(B\) à trouver. Nous trouvons \(B\) en remplaçant les coordonnées \(x, y\) ou \(x, f(x)\) si vous préférez, dans l'expression, car cela passe par un point appartenant à la représentation graphique. Cela nous libère \(B\). Une fois que nous avons calculé \(B\), nous ne devons pas oublier de réécrire l'expression en entier à la fin, car c'est ce que l'on nous demande. Il faut toujours répondre à l'énoncé. C'est un peu long, il faut vraiment être méthodique et rigoureux. Commencez par calculer \(A\), puis calculez \(B\) en passant par un des deux points. À la fin, en rédigeant bien, mettez en valeur l'expression \(f(x) = Ax + B\) en remplaçant \(A\) et \(B\) par leurs valeurs. Faites les exercices, il faut vraiment le faire deux, trois, quatre fois. Nous allons faire un deuxième cas avec plutôt que des points \(A\) et \(B\), des images, par exemple \(f(2) = 1\) et \(f(0) = 3\). Nous allons faire cela tout de suite.