12. Retrouver une expression à partir d'un graphe

Introduction

Dans cette petite vidéo, nous allons aborder une compétence un peu particulière. On nous donne la représentation graphique, ou la courbe représentative, d'une fonction que nous appellerons \(f\). On nous demande de retrouver l'expression de \(f\) associée à cette représentation graphique. Les options proposées sont les suivantes : 1. \(f(x) = x - 1\) 2. \(f(x) = x^2 - 1\) 3. \(f(x) = x^3 - 1\)

Comprendre la représentation graphique

Pour résoudre ce problème, nous devons nous rappeler qu'avec les représentations graphiques, les images (ici \(f(a) = b\)) sont associées à un antécédent. Chaque point de la courbe est un couple d'image et d'antécédent. Si ce concept n'est pas clair, il est recommandé de revoir les bases des fonctions. Dans notre cas, l'antécédent \(x\) (que j'ai appelé \(a\)) a une correspondance avec les \(y\) qui est \(b\). Nous allons essayer de retrouver cette correspondance grâce aux expressions proposées.

Méthode de résolution

Il y a plusieurs façons de traiter ce problème. On pourrait le résoudre rapidement si on a l'œil aiguisé et une bonne connaissance des fonctions. Cependant, nous allons adopter une approche plus classique : nous allons prendre un point sur la courbe et vérifier si les expressions proposées sont valides pour ce point. Nous commencerons par l'origine (0,0) et ensuite nous nous déplacerons vers la gauche ou la droite pour voir si nous pouvons retrouver l'expression correcte. Par exemple, pour l'origine, nous cherchons l'image à l'origine, donc nous faisons \(f(0)\). Si nous suivons la courbe à partir de l'origine, nous obtenons -1. En remplaçant \(x\) par 0 dans la première expression, nous obtenons \(0 - 1 = -1\), ce qui est correct. Cependant, ce n'est pas parce que nous trouvons un point qui correspond à la courbe que c'est nécessairement la bonne fonction. Il faut essayer avec plusieurs points pour voir si cela fonctionne vraiment. En continuant cette méthode, nous constatons que la deuxième expression est la seule qui fonctionne pour tous les points testés.

Conclusion

Cet exemple montre comment retrouver une courbe à partir d'expressions données. On aurait aussi pu faire l'inverse : donner plusieurs courbes et une seule expression, et demander de retrouver la bonne courbe à partir de l'expression. Il est recommandé de s'entraîner à faire ce genre d'exercice pour s'assurer de bien comprendre le concept.