15. Problèmes

Introduction

Commençons ensemble un premier problème avec les fonctions. Nous avons un rectangle ABCD dont la longueur et la largeur sont respectivement 11 et 7. Une certaine zone est hachurée en bleu, avec un deuxième carré AEFB de côté \(x\). On nous demande d'exprimer l'aire hachurée en fonction de \(x\).

Notation des longueurs

Pour commencer, notons toutes les longueurs. Nous avons 7 et 11 pour les côtés du rectangle, et \(x\) pour le côté du carré. Nous pouvons également noter que AG fait \(x\). Ensuite, nous pouvons déterminer les longueurs EB et GD. Si AB fait 7 et AG fait \(x\), alors EB fait \(7 - x\). De la même manière, si AD fait 11 et AG fait \(x\), alors GD fait \(11 - x\).

Calcul de l'aire hachurée

Pour calculer l'aire hachurée, nous pouvons utiliser plusieurs méthodes. Une première méthode serait de calculer l'aire du rectangle ABCD, puis de soustraire l'aire du carré AEFB. Cela nous donne l'expression suivante : \[A(x) = ABCD - AEFB = 11 \times 7 - x \times x = 77 - x^2\] Une autre méthode serait de calculer l'aire de deux rectangles formés par la zone hachurée, puis de les additionner. Cependant, cette méthode est plus longue et plus sujette à erreur.

Conclusion

L'expression de l'aire hachurée en fonction de \(x\) est donc \(A(x) = 77 - x^2\). Cette expression est utile car elle nous permet de calculer l'aire hachurée pour n'importe quelle valeur de \(x\), sans avoir à refaire tous les calculs. Par exemple, si on nous demande quelle est la valeur de \(x\) pour avoir une aire de 36 m², nous pouvons simplement résoudre l'équation \(A(x) = 36\). C'est un cas très important que vous allez revoir en seconde et en première, donc habituez-vous à faire ce genre de choses en fonction de \(x\). C'est en effet une fonction, car \(x\) est une inconnue qui peut varier.