6. Résoudre une INÉQUATION "complexe"

Introduction

Allez, on se fait une petite compétence maintenant. On essaie de faire des inéquations un peu plus ardues, un peu plus compliquées, avec plein de parenthèses et tout ça pour s'entraîner toujours au calcul. Avoir des inéquations un peu plus dures pour qu'on soit prêt pour le contrôle. On nous demande juste de résoudre, on va juste avoir à la fin qu'est-ce qu'on cherche \(X\) par rapport à quelque chose, supérieur, strictement supérieur, etc.

Différence entre équations et inéquations

Qu'est-ce que je peux vous rappeler, c'est la grande différence avec les équations. C'est que quand on a égal, il y a juste à faire ça, isoler \(X\) et tout ça. La grande différence avec les inéquations, c'est qu'il faut faire attention quand on multiplie par un nombre négatif ou qu'on divise par un nombre négatif. Mais je vous rappelle que diviser c'est comme multiplier par l'inverse, donc ça reste entre guillemets une multiplication. Et quand cette chose est négative, là il faut faire une inversion, alors il faut changer le sens d'inégalité pour être bien précis. Donc on va changer comme ça, au lieu d'être supérieur on va être inférieur, etc. Mais ça, on verra. Attention, c'est vraiment qu'en multiplie, c'est vraiment ce cas là qu'il faut garder en tête.

Résolution d'une inéquation

Par exemple, à la fin, ce qu'on pourrait faire, c'est représenter ça. C'est des questions que vous pouvez avoir aussi, représenté sous une forme d'une droite numérique. Ça, on l'a vu avant, là on va pas le faire, mais on pourrait le faire. On verra, j'avais essayé à la fin, je suis motivé ou pas, mais normalement si l'énoncé c'est juste résoudre, vous n'avez pas besoin de représenter sur votre numérique. Donc là, qu'est-ce qu'on fait ? Règle des priorités dans les maths, c'est toujours on s'occupe d'abord des parenthèses. Là je peux rien faire dedans, donc maintenant je vais m'occuper de ce qui multiplie, d'ailleurs comme à gauche comme à droite, ce qui multiplie ce qui est entre les parenthèses. Donc c'est le -2, donc je développe. Là il faut développer, donc j'ai \(-2 \times 6x - 2 \times -3\). Là je mets des crochets, je vais peut-être revenir à la ligne là. Donc là pour l'instant je change pas le sens de l'égalité et rien, je développe juste mes expressions et donc il y a rien qui se passe de plus. Donc là j'ai juste mis mon \(10x\) après. Donc là c'est bon, maintenant j'essaie de réduire peut-être un petit peu pour que ce soit un peu plus clair. J'ai \(-12x + 6 = 10x - 20\). Alors maintenant qu'est-ce que je fais, c'est toujours la question qu'on se pose. Il y en a qui sont un peu perdu à ce moment-là. J'ai développé pour essayer d'avancer et puis maintenant il faut que je passe tous les \(X\) d'un côté et tous les nombres de l'autre. Donc déjà je vais passer alors il y aurait plusieurs solutions, je pourrais passer ce \(X\) ici, enfin c'est \(-12x\), le passer de l'autre côté. Vous le dites que je passe ici, donc ce que je vais faire pour pas, il y a pas de solution miracle là, il faut faire l'un ou l'autre. Donc là je fais, là je vais pas trop détailler le calcul de dire que \(-10x - 18\), je vais mettre directement \(-10x\) à gauche et je vais enlever le \(-12x\) à droite. OK, et pareil pour le 6, je vais passer le 6 à droite donc je vais faire \(-6 - 6\). Donc il me reste quoi, il me reste, pardon, il me reste le \(-20\) et le \(-6\). Si je le passe de côté je fais \(-6 - 6\), donc \(-6\). OK, donc là c'est juste par un souci de place, je détaille pas plus les calculs que ça. Mais détailler le \(-2 - 10\), ça me fait \(-22\). Donc \(-22x\), je associe bien sûr les \(X\) entre eux et là \(-20 - 6\), pardon je suis un peu vite, ça fait \(-26\). Et là quand j'ai fait mon \(-6\), attention hein, je change pas le sens d'inégalité parce que j'ai juste ajouté un nombre négatif, j'ai pas multiplié par un nombre négatif, c'est la nuance. Ensuite, est-ce qu'on arrive jusqu'au bout, là je me parle pour le coup. Je ne divise tout, alors ce que je vais faire c'est que je vais le faire à la ligne d'avant pour gagner un peu de place et du coup je vais changer le sens de l'égalité. Pour le coup là, je vais diviser par \(-22\) parce que j'ai \(-22\) qui multiplie \(X\), pour l'enlever je suis obligé de diviser par \(-22\). Et si je divise par \(-22\), c'est comme multiplié par un nombre négatif, donc \(X = -1/22\), si vous préférez. Donc là je change de sens de l'inégalité, là je deviens inférieur égal et bien sûr je mets \(-\) des deux côtés. Voilà, là c'est un point de passage important, mais le mettez le bien en évidence, c'est pas clair. Et j'ai \(X\), alors là est-ce que je simplifie direct, j'ai moins sur moins donc du coup ça devient plus. Après j'ai \(26/22\), vous pouvez le taper avec les aides un petit peu à faire effraction. Mais là j'ai deux fois, alors on va quand même le mettre comme ça, deux fois 11 et en haut si je mets un deux ça fait deux fois 13, si je dis pas de bêtises, vérifiez-le. Donc j'ai simplifié les deux, là j'ai pas envie d'effacer ce que j'ai mis là, donc je suis un peu feignant comme vous. Donc je vais tout simplement remettre le résultat là, donc j'ai, si je dis pas de bêtises, \(X \leq 13/11\). Donc si vous avez une droite numérique à faire, revenez sur les compétences d'avant. Mais vous mettez une droite qui va de la gauche vers la droite, donc la flèche à droite, et vous mettez votre trait sur \(13/11\), bien irréductible parce que 13 et 11 sont des nombres premiers. Et après on cherche les valeurs inférieures, donc c'est vous allez hachurer tout ce qui est à gauche du \(13/11\), vous allez inclure le trait hachuré parce qu'on peut être égal à \(13/11\), vous allez mettre les crochets du côté de où vous avez hachuré ou surligné comme vous voulez. Voilà, donc là c'était un cas un petit peu comme ça, on va faire deux trois autres vidéos sur ce genre d'inéquation. C'est un peu comme ce qu'on avait vu avec les équations, sauf que là où il faut faire attention, c'est ces changements de sens d'inégalité. Voilà, avec les multiplications de division par un nombre négatif, dans la tête.