Introduction
Commençons une première vidéo sur la compétence qui, pour moi, est la plus compliquée de ce chapitre sur les résolutions d'équation. Par exemple, sur le premier cas que je vous ai donné, \(x^2 - 3x = 0\), ce n'est pas évident à première vue comment je vais résoudre cela.
Erreur commune et méthode du produit nul
Ce que l'on voit souvent sur les copies, c'est : "Ah, attends, je vais isoler \(x^2\), ça fait \(3x\). Qu'est-ce que je fais avec les \(x\)? Est-ce que je peux simplifier en divisant par \(x\)?". Pas forcément, ce n'est pas vraiment la stratégie qu'il faut adopter. Vous allez faire des choses que vous n'avez pas le droit de faire, comme diviser par \(x\). Pourquoi? Parce que \(x\) peut prendre la valeur de 0 et on ne peut surtout pas diviser par 0.
Je vous ai laissé la méthode du produit nul, c'est-à-dire qu'on avait \(a \times b = 0\) avec des expressions littérales avec des \(x\) qui traînaient à droite à gauche. On a soit \(a\) qui vaut 0, soit \(b\) qui vaut 0 pour pouvoir s'annuler. Forcément, dans un produit nul, il y a un des deux facteurs qui vaut 0.
Factorisation
Donc là, je n'ai pas de factorisation, mais comme vous êtes bon parce que vous avez bossé le chapitre d'avant (et si vous ne l'avez pas bossé, je vous conseille de bosser la factorisation), on a fait un chapitre entier sur développer et factoriser. C'est à ce moment-là qu'on a besoin de la factorisation. Pourquoi? Parce que là, il y a une factorisation assez évidente. \(x^2\) c'est quoi? C'est \(x \times x - 3x\), et \(-3 \times x\). Donc j'ai bien un facteur en commun. Donc là, je peux prendre celui de gauche ou de droite, c'est le même, c'est \(x\).
Donc là, je le mets ici et entre, donc ça c'est encore une fois rappel, allez voir les vidéos sur la factorisation si ce n'est pas clair. Là, je le fais rapidement parce que pour moi c'est acquis. Donc \(x(x -3) = 0\).
Donc là, on se retrouve sur un fameux produit nul. Donc là, il faut vraiment, dès que vous voyez du \(x^2\), ça peut être aussi du \(x^3\), on peut faire des trucs un peu méchants comme ça, mais dès que vous avez du \(x^2\) avec du \(x\) qui traîne comme ça, il faut penser : "Est-ce que je ne peux pas factoriser par \(x\)?". Si j'avais un \(+ 4\) après, ça n'aurait pas marché. Donc là, c'est vraiment dans le cas où j'ai un binôme.
Donc voilà, je clique de terme et j'ai un \(x^2\) et j'ai du \(x\), là il y a une factorisation possible. Donc ça, maintenant, je le résous comme je l'ai déjà fait plein de fois sur les vidéos d'avant. Donc je regarde dans le premier facteur, quand est-ce que ça vaut 0? C'est tout simplement quand \(x = 0\). Ou \(x - 3 = 0\), donc là pareil, ça va assez vite, mais normalement vous faites \(x = 3\).
Et ça me donne quoi comme solution? C'est soit \(x = 0\), soit \(x = 3\). Voilà, là vous avez noté vos solutions, vous l'avez bien mis en évidence. On vérifie quand même, ça peut être intéressant de mettre un zéro là. Ah ben, c'est \(x = 0\), ça fait \(0 - 3 \times 0\), ça fait bien 0. Donc là, il y a tout qui s'annule. Et si j'ai \(3^2\), ça me fait \(9 - 3 \times 3\), ça fait \(9 - 9\), j'ai bien 0. Donc ça valide bien nos solutions. Ça, c'est un moyen aussi de valider vos solutions.
Conclusion
Donc pensez bien que vous pouvez factoriser par vous-même. Donc ça, c'est l'exercice un peu plus dur. C'est pour ça que je vous dis que c'est dur cette compétence, c'est parce que vous devez vous-même vous dire que j'ai peut-être une factorisation possible. Pourquoi? Pour faire apparaître un produit nul, et ça, c'est très facile à résoudre avec du premier degré.
Donc là, quand vous avez du second degré comme ça, j'espère que c'est clair, mais ça va rentrer petit à petit. On va faire des exercices, on va faire plein d'autres cas. On peut voir aussi les identités remarquables que vous aimez bien à faire apparaître et à factoriser grâce aux identités remarquables. On voit ça dans le prochain épisode. Et en attendant, faites les exercices. Ciao!