Introduction
Allons-y avec une nouvelle compétence. Nous sommes toujours sur le calcul littéral, toujours sur le développement. Nous allons aussi parler un peu de factorisation car ici, nous parlons des identités remarquables.
Les identités remarquables
Je voulais juste vous faire une petite vidéo d'introduction sur ce qu'est une identité remarquable avant de partir directement sur le calcul. Donc, à gauche, vous avez tout ce qui est forme factorisée que nous avions déjà vu et à droite, ce sont les formes développées. Vous voyez qu'il n'y a pas de parenthèse, il y a des fois, mais c'est surtout des sommes qu'on retient. Il va falloir les apprendre par cœur. Il n'y a pas beaucoup de choses à prendre par cœur en maths, mais là, c'est vraiment du par cœur.
Pourquoi s'attarder sur les identités remarquables ? Vous voyez qu'ici, \( (A+B)^2 \) c'est comme si on avait \( A + B \) fois \( A+B \). On aurait pu faire une double distribution \( A \times A \), \( A \times B \), etc. Sauf qu'en fait, on s'en rend compte, si on vous faisait la démonstration, qu'à la fin on retombe toujours sur ça. Donc plutôt que de perdre plusieurs lignes pour faire une distribution, si vous êtes dans un cas où vous avez \( A + B \) et que vous le mettez au carré, vous allez tout simplement utiliser la partie qui est développée.
Utilisation des identités remarquables
Ce qui est surtout très intéressant avec les identités remarquables, c'est quand on va factoriser. Parce que ça nous permet de passer sur cette forme là. Vous allez me dire, mais pourquoi ? En fait, c'est quand on va passer aux équations. C'est très intéressant d'avoir des formes factorisées quand on a un \( y = 0 \) de l'autre côté. Ça s'appelle les produits nuls. Donc là, pas de spoil, on verra ça plus tard.
Pour l'instant, il faut juste retenir que nous faisons tout ça, nous apprenons tout ça par cœur pour arriver à factoriser. C'est aussi pour développer. Si on sait factoriser, on sait développer. On fait les deux. Mais c'est surtout ce qui va être puissant, c'est de passer sur des formes factorisées pour pouvoir résoudre ensuite des équations.
Pour résumer, \( (A+B)^2 \) donne \( A^2 + 2AB + B^2 \). Je précise bien que \( 2AB \), qu'on écrit comme ça en maths, ça veut dire que c'est deux qui multiplie \( A \) et \( B \). Il y a une multiplication entre les deux, c'est juste en maths c'est plus simple de les compacter comme ça, de ne pas mettre des fois partout, surtout qu'on les confond avec les \( X \).
La seule différence entre \( (A+B)^2 \) et \( (A-B)^2 \) c'est le signe moins. Le moins apparaît juste là parce qu'effectivement \( (A - B)^2 \) donne \( A^2 - 2AB + B^2 \). Donc voilà, c'est pour ça que la seule différence entre les deux lignes, c'est ce signe moins qui apparaît sur le \( -2AB \).
Enfin, \( (A - B)(A + B) = A^2 - B^2 \). Attention, le moins apparaît sur celui où il y a le moins entre parenthèses et inversement, n'allez pas le mettre le moins sur le \( A \). L'ordre est vraiment important.
Exercices
Faites des exercices pour vous habituer à identifier si vous êtes bien face à une identité remarquable ou pas, pour pouvoir bien développer. Nous continuerons les exercices et les compétences d'après pour bien développer des identités remarquables. Allez, on fait ça, faites des exercices, à tout de suite, on y va, on est ensemble, on reste ensemble.