12. Limites des fonctions trigonométriques en zéro

Introduction

Allez les amis, nous allons voir comment étudier des limites avec des sinus et des cosinus en zéro, qui sont des points particulièrement délicats. Nous allons aborder cela tout de suite.

Formules clés

Grosso modo, ce que vous devez retenir, c'est qu'il n'y a que deux formules qui sont utiles et ce sont les deux qui s'affichent en haut de la page. La première, c'est que la limite de \(\frac{\sin(x)}{x}\) en 0 est égale à 1. La deuxième, c'est que la limite en 0 de \(\frac{\cos(x) - 1}{x}\) est égale à 0. D'où viennent ces deux limites ? Elles viennent tout simplement des formules de la dérivée. En fait, derrière ce \(\frac{\sin(x)}{x} = 1\) et ce \(\frac{\cos(x) - 1}{x} = 0\), il y a un taux de variation que vous avez calculé en début de première quand vous avez commencé à dériver. Pour ceux que cela intéresse, nous ferons une vidéo sur la démonstration. Pour les autres, nous allons juste voir en pratique comment je m'y prends.

Exemple pratique

Comment est-ce que je m'y prends quand je veux calculer la limite quand \(x\) tend vers 0 de \(\frac{3x}{\sin(x)}\) ? Il y a une première technique vraiment basique qui consiste à dire que, en gros, \(\frac{\sin(x)}{x} = 1\), donc \(\frac{x}{\sin(x)} = 1\) aussi, et \(\frac{3x}{\sin(x)}\) va faire \(3 \times 1\), et c'est QFD. Cependant, nous allons apprendre à le faire proprement. Pour que vous puissiez utiliser ces formules, il faut que cela soit exactement de la forme \(\frac{\sin(x)}{x}\). Donc ce que nous allons commencer par faire, c'est faire apparaître ce \(\frac{\sin(x)}{x}\). Je vais dire que cette limite est exactement la même que la limite quand \(x\) tend vers 0 de \(\frac{3x}{x} \times \frac{x}{\sin(x)}\). Jusque là, rien de révolutionnaire. Sauf que maintenant, je peux dire que c'est \(3 \times \frac{1}{\sin(x)/x}\). Maintenant, je peux le faire par étape. Je sais que la limite de \(\frac{\sin(x)}{x}\) en 0 vaut 1 d'après le cours. Je sais donc que cette limite là, c'est bon. Je vais faire celle-là. Je sais que la limite de 1 quand \(x\) tend vers 0, c'est 1. Du coup, je sais que ça divisé par ça, donc par quotient et produit, parce que la limite de 3, c'est 3. Donc je peux dire que ma limite quand \(x\) tend vers 0 de \(\frac{3x}{\sin(x)}\) vaut tout simplement 3. Et là, c'est propre. Vous voyez, j'ai commencé par modifier mon expression pour faire apparaître du \(\frac{\sin(x)}{x}\), ensuite je l'ai traité à part et ensuite j'ai utilisé les autres et le quotient et le produit pour calculer la limite globale. Nous vous en avons mis plein en dessous, notamment certaines avec la deuxième formule, donc \(\frac{\cos(x) - 1}{x}\) quand \(x\) tend vers 0, qui est égal à 0. À vous de jouer, vous êtes des champions.