11. Limites des fonctions trigonométriques en l'infini

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir comment régler des limites de fonctions trigonométriques, et particulièrement dans le cas \(+\infty\), sur des cas simples et des cas plus compliqués. On se fait ça tout de suite.

Théorème de comparaison et des gendarmes

Quand vous avez des limites en \(+\infty\) avec les fonctions cosinus et sinus, dans 99% des cas, c'est un théorème de comparaison ou des gendarmes qui vont faire l'affaire. Pourquoi ? Parce que la limite d'une fonction trigonométrique n'existe pas. Vous voyez que les fonctions sinus oscillent entre -1 et 1, donc si vous vous intéressez à la limite d'une fonction qui oscille ainsi, cette limite n'existe pas. Donc en fait, on va se rendre compte dans nos calculs de limite que le sinus est forcément écrasé par une autre fonction. Dans ce cas là, le sinus devient négligeable comparé à \(3x\) qui lui va devenir infiniment grand. Dans ce cas là, le sinus \(x\) en lui ajoutant trois, va devenir négligeable par rapport au \(x\) qui est en dessous et qui va le diviser jusqu'à 0. On va mettre en évidence ces rapports de force mathématiques grâce au théorème des gendarmes et au théorème de comparaison.

Application des théorèmes

Dans tous les cas, le point de départ c'est toujours le même, c'est de dire qu'un sinus (ou un cosinus, ça marche aussi) est compris entre -1 et 1. Donc on va partir de \(-1 < \sin(x) < 1\) et on va tout simplement construire cette fonction-là au milieu. Donc là, pour construire cette fonction, il me manque mon \(3x\), donc je vais ajouter \(3x\), donc j'ai \(\sin(x) + 3x\). Ce que j'ai fait au milieu, je suis obligé de le faire aux côtés, donc \(1 + 3x\) et \(-1 + 3x\). Aucun problème de changement de signe, le signe ne change pas vu que j'additionne quelque chose, que ça soit positif ou négatif, on s'en fiche. Et hop, j'ai mon sinus qui est là. Sauf que la limite qui est ici, c'est \(+\infty\), donc je me fiche de savoir ce qui se passe là, c'est pas intéressant. J'ai ma fonction qui est plus grande qu'une fonction qui tend vers \(+\infty\), donc je peux dire par comparaison que la limite de \(\sin(x) + 3x\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\), c'est \(+\infty\). Et c'est aussi simple que ça. Dans ce cas là, si je décide de mettre \(\cos\), ça revient exactement au même. Je vais vous le montrer. On va changer, on va mettre \(\cos(x)\) à la place. Je pars toujours de mon \(-1 < \cos(x) < 1\), je rajoute 3, donc \(-1 + 3 < 3 + \cos(x) < 4\), et je divise tout par \(x\), donc \(2/x < 3 + \cos(x)/x < 4/x\). Est-ce que je change le signe ? Non, je ne change pas le signe vu qu'on prend un \(x\) qui va vers \(+\infty\), on va supposer que l'intrigue est quand même positif. Du coup, quand je divise par un nombre positif, je ne change pas le signe. Vous allez vous rendre compte que même si vous aviez changé, en fait, ça n'a pas d'importance. Pourquoi ? Parce que cette limite là, c'est zéro, et cette limite là, c'est zéro. Donc au pire, j'aurai \(0 < 3 + \cos(x)/x < 0\), et donc dans tous les cas, d'après le théorème des gendarmes, quand une fonction est comprise entre deux fonctions qui tendent vers 0, la limite de cette fonction, \(3 + \cos(x)/x\), quand \(x\) tend vers \(+\infty\), c'est bien 0. Et je peux encadrer et c'est terminé. On vous a mis des petits exercices en dessous, entraînez-vous. Vous allez voir, on part de très simple, on va vers du compliqué. À vous de jouer, vous êtes des champions.