8. Résoudre des inéquations avec cosinus et sinus dans ℝ

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir comment régler des inéquations avec sinus et cosinus où les solutions sont les nombres réels. On se fait ça tout de suite.

Résolution d'une équation avec cosinus

Pour régler une équation avec cosinus, c'est globalement le même principe qu'avec sinus, à peu de choses près. On va raisonner horizontalement au lieu de verticalement, mais vous allez voir, c'est quasiment la même chose. La première étape, c'est de se dessiner proprement un cercle trigonométrique. Une fois qu'on s'est dessiné le cercle trigonométrique, on va mettre nos petites valeurs habituelles. Donc moi, je vous rappelle que les angles que vous devez connaître, c'est \(\pi/3\), celui du milieu, puis \(\pi/4\) et celui de la fin, \(\pi/6\). Ensuite, les valeurs qu'on a sur le cosinus, on les trouve en faisant \(1, 2, 3, \sqrt{2}, \sqrt{2}, \sqrt{2}\) et on divise tout par \(2\). Sur l'axe horizontal, on lit les cosinus, sur l'axe vertical, on lit les sinus. Ce qu'on va commencer par faire, c'est dire où est-ce qu'on veut avoir notre cosinus. On va avoir un cosinus qui est plus grand que \(\sqrt{2}/2\). Cosinus, on le lit sur cet axe là. S'il est plus grand que \(\sqrt{2}/2\), ça veut dire qu'il va se retrouver dans cette zone là, à droite de \(\sqrt{2}/2\).

Recherche des solutions

Et maintenant, on va se demander quels sont les angles qui nous permettent d'arriver ici. On commence en les testant au hasard. Celui-là, \(\pi/2\), est-ce qu'il m'amène dans la zone rouge ? Non. Celui-là, \(\pi/3\), non. \(\pi/4\), ah \(\pi/4\), ça commence. Donc on a l'impression que \(\pi/4\), vu qu'il vaut \(\sqrt{2}/2\), on peut le garder. Donc on va garder \(\pi/4\). Celui qui est juste après, il est dans la zone rouge. Il est dans la zone rouge. Il est dans la zone rouge. OK, jusqu'à \(0\). Mais ça continue aussi par le bas. \(-\pi/6\), il y est. Juste après, il y est. Jusqu'à le dernier qui arrive, c'est \(-\pi/4\). Donc en fait, nous, on va garder tout ce qui se situe entre d'un côté \(-\pi/4\) et de l'autre côté, \(\pi/4\). Donc, les solutions, c'est \(x\) appartient à l'intervalle fermé (parce que je veux bien garder les valeurs qui me donnent \(\sqrt{2}/2\), c'est-à-dire les valeurs de \(\pi/4\)), donc l'intervalle fermé qui commence à \(-\pi/4\) et qui se finit à \(\pi/4\). Sauf que attention, vu que sinus et cosinus sont des fonctions périodiques, si je commence non pas à \(\pi/4\) mais à \(\pi/4 + 2\pi\), ça marche aussi. Enfin, \(-\pi/4 + 2\pi\), ça marche aussi. Si je commence à \(-\pi/4 + 4\pi\), ça marche aussi. Donc, il faut rajouter notre \(+ 2k\pi\), avec \(k\) appartenant à \(\mathbb{Z}\). Vous voyez que cette histoire de périodicité, elle nous force à chaque fois à préciser que nos solutions, elles sont modulo \(\pi\). C'est comme ça qu'on dit une solution modulo \(\pi\), c'est-à-dire en enlevant ou en rajoutant un certain nombre de fois \(\pi\) pour avoir les solutions dans \(\mathbb{R}\). On vous a mis des exercices avec des intervalles en dessous, entraînez-vous, ça, ça tombe vraiment au contrôle. À vous de jouer, vous êtes des champions.