7. Résoudre des équations avec sinus dans ℝ

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir précisément comment régler des équations où on vous demande de trouver un sinus \(X\) dans \(R\). On se fait ça tout de suite.

Stratégie pour résoudre l'équation

La stratégie quand vous êtes face à ce genre d'équation, c'est d'arriver à écrire cette équation comme \(\sin(X) = \sqrt{3}/2\) plutôt que \(\sqrt{3}/2\) est le sinus d'un angle. Pourquoi ? Parce que si vous arrivez à écrire que \(\sin(X)\) c'est égal au sinus d'un angle, vous aurez le droit de barrer les sinus et vous aurez donc directement la valeur de \(X\). Le problème, c'est quel est l'angle que je dois mettre ici pour que \(\sqrt{3}/2\) soit égal au sinus d'un angle ? Pour répondre à cette question, une seule technologie : je dessine mon cercle. Je dessine les trois angles que je suis censé connaître par cœur, c'est à dire \(\sqrt{3}/2\), \(\pi/3\), \(\pi/4\) et \(\pi/6\) et les trois valeurs qui sont associées ici qu'on appelle 1, 2 et 3. On divise tout par 2. Maintenant, vous savez que sur l'axe horizontal on a les cosinus et sur la verticale on lit les sinus. Du coup, vous cherchez un sinus qui soit égal à \(\sqrt{3}/2\).

Identification des solutions

Donc, il va falloir commencer par noter ces valeurs là sur cet axe vertical. Donc, c'est pas grave, on reprend et on fait le symétrique. Celle-là c'est la même que celle-là. Donc là j'ai \(\sqrt{3}/2\), là j'ai \(\sqrt{2}/2\) et là j'ai \(\sqrt{1}/2\). Et on se dit, bon maintenant lequel de ces angles me permet d'avoir \(\sqrt{3}/2\) ? Vous voyez qu'on l'atteint avec \(\pi/3\). Donc l'angle qui me permet d'avoir un sinus de \(\sqrt{3}/2\) c'est \(\pi/3\). Donc là on barre les sinus et on obtient directement comme solution que \(X = \pi/3\). Sauf que regardez, \(\sqrt{3}/2\) on l'atteint effectivement avec \(\pi/3\) mais on l'obtient aussi avec cet angle là. Donc il y en a un deuxième. Retenez que quand vous avez réussi à écrire \(\sin(X) = \sin(\text{angle})\), les solutions c'est cet angle mais les solutions c'est aussi \(X = \pi - \text{angle}\). On a deux solutions, celle-là et puis celle-là. Et ça là c'est juste \(\pi - \pi/3\). Pourquoi \(\pi - \pi/3\) ? Mais parce que on avance de \(\pi\) et ensuite on va enlever \(\pi/3\) la longueur qu'on retrouve là. Donc j'ai bien \(\pi - \pi/3\) et puis \(- \pi/3\) ça me fait \(2\pi/3\). Mais comme ma fonction sinus elle a la bonne idée d'être périodique, \(\pi/3\) ça donnera \(\sin(\sqrt{3}/2)\) mais \(\pi/3 + 2\pi\) ça me donne aussi \(\sqrt{3}/2\), \(\pi/3 + 4\pi\) ça me donne aussi \(\sqrt{3}/2\). Donc finalement \(\pi/3 + n \times 2\pi\), tant que ce \(n\) c'est un nombre entier relatif ou naturel, et bien c'est une solution. Du coup, les deux solutions c'est \(X = \pi/3 + 2n\pi\) ou \(X = 2\pi/3 + 2n\pi\). Et vous pouvez encadrer, c'est des exercices qui demandent de la précision. Ça tombe bien, on vous en a mis juste en dessous. Entraînez-vous, ça tombe au contrôle. À vous de jouer, vous êtes des champions.