6. Résoudre des équations avec cosinus dans ℝ

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir comment résoudre sans se planter des équations du type \(\cos(x) = \text{quelque chose}\). Quand on veut une solution réelle, on s'y met tout de suite.

Transformation de l'équation

Pour arriver à résoudre une équation du type \(\cos(x) = -\sqrt{2}\), ce qu'il faut que vous arriviez à faire, c'est transformer cette équation en disant finalement que mon \(-\sqrt{2}/2\) est aussi un cosinus. Donc on va essayer d'écrire \(\cos(x) = \cos(\alpha)\) pour pouvoir ensuite barrer les cosinus. Sauf que la question qu'on se pose dans cette compétence, c'est quelle est la valeur de \(\alpha\)? Quelle est la valeur de l'angle qui va me donner \(\sqrt{2}/2\) en cosinus?

Recherche de l'angle

Pour trouver cet angle, il faut absolument se faire un cercle. De toute façon, honnêtement, dans ce chapitre, si vous ne faites pas ça, vous avez quasiment aucune chance de vous en sortir. Sur ce cercle, on vous a demandé d'apprendre par cœur trois valeurs : \(\pi/3\), \(\pi/4\) et \(\pi/6\). Je vous rappelle que ce que vous cherchez, c'est le cosinus. Le cosinus, c'est pour chaque angle, quelle est la valeur de cette longueur là. Autrement dit, si je prends mon angle que je le projette sur l'axe horizontal, quelle est la valeur de cette longueur? Pour connaître ces valeurs, vous retenez juste 1, 2, 3, vous mettez tout à la racine et vous divisez tout par deux. Une fois que vous avez ces valeurs, vous savez par exemple que la valeur de \(\cos\) qui donnera \(\sqrt{2}/2\) c'est \(\pi/4\). Donc si je voulais écrire \(\cos(x) = \sqrt{2}/2\), je dirais que l'angle qui me permet d'atteindre \(\sqrt{2}/2\) c'est tout simplement \(\pi/4\). Sauf que le problème, c'est que moi, j'ai un moins. Donc moi, je ne veux pas atteindre \(\sqrt{2}/2\), je veux atteindre \(-\sqrt{2}/2\). Alors je vous rappelle encore une fois que dans le cercle trigonométrique, ces axes là se comportent comme les axes normaux de n'importe quel repère. Autrement dit, si là vous avez \(\sqrt{2}/2\), là vous avez 0 et votre \(-\sqrt{2}/2\) c'est le symétrique par rapport à zéro. Donc votre \(-\sqrt{2}/2\) est là. Donc vous cherchez l'angle qui va vous donner \(-\sqrt{2}/2\). Ce n'est pas \(\pi/6\), ce n'est pas \(\pi/4\), ce n'est pas \(\pi/3\), ce n'est pas \(\pi/2\) qui vous donne 0, c'est cet angle ici. Cet angle ici va bien me donner \(-\sqrt{2}/2\). Problème, quelle est cet angle? Et bien, si \(-\sqrt{2}/2\) est le symétrique de \(\sqrt{2}/2\), ça veut dire que cet angle là, c'est le symétrique de \(\pi/4\). Or le symétrique de \(\pi/4\), vous avez deux manières de le voir. Soit vous dites, bon cet angle là, celui que je recherche, cet angle là, c'est un demi tour moins cette longueur là, moins \(\pi/4\). Donc ça serait \(\pi - \pi/4\). Soit vous dites, bon pour arriver là, je dois faire \(\pi/4\) deux fois, puis \(\pi/4\) trois fois. Donc soit vous dites, 3 fois \(\pi/4\), c'est la même chose parce que \(\pi - \pi/4\) c'est comme \(4\pi/4 - \pi/4\) ça me fait \(3\pi/4\). Et dans tous les cas, je retrouve mon \(3\pi/4\). Donc l'angle que je recherche ici, c'est \(3\pi/4\). Autrement dit, \(3\pi/4\). Oui, mais regardez, effectivement \(3\pi/4\) ça me donne bien \(-\sqrt{2}/2\). Sauf que si j'étais parti par en dessous et que j'avais fait moi \(3\pi/4\), j'aurais aussi eu \(-\sqrt{2}/2\). Donc quand on a \(\cos(x) = \cos(\alpha)\), on ne simplifie pas simplement en disant que \(x = \alpha\). Parce qu'on se rend compte que \(3\pi/4\) c'est une solution, mais ce n'est pas toutes les solutions. C'est plus, c'est \(\pm 3\pi/4\). Oui, mais \(\pm 3\pi/4\), sauf que le cosinus est périodique de période \(2\pi\). Donc ça veut dire que quand vous rajoutez \(2\pi\) à votre solution, c'est aussi une solution. Et quand vous rajoutez deux fois \(2\pi\), c'est aussi une solution, et ainsi de suite. Donc \(x = \pm 3\pi/4 + 2k\pi\) avec \(k\) un entier relatif. Et là, on a notre solution. Donc on a la valeur \(3\pi/4\) qu'on retrouve, qui nous donne le même angle. On ajoute \(\pm\) pour dire que je passe par le haut, je passe par le bas, j'arrive au même endroit. Et on rajoute \(+ 2k\pi\) avec \(k\) appartenant à \(\mathbb{Z}\). On vous a mis des exercices en dessous, c'est une compétence de première, faites-la quand même, ça tombe au contrôle de terminale. À vous de jouer, vous êtes des champions!