3. Étudier la parité des fonctions cosinus et sinus

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir très rapidement comment est-ce qu'on fait pour gérer les études de parité des fonctions trigonométriques. C'est-à-dire se demander si cette fonction est paire ou si cette fonction est impaire. Je vous rappelle que grosso modo, pour savoir si une fonction est paire ou impaire, le travail c'est ça : on va commencer par écrire \(F(-x)\), on va le calculer, le modifier, l'arranger, et à la fin il y a deux options. Soit on va arriver à \(-F(x)\), auquel cas la fonction est impaire, soit on va arriver à \(F(x)\), auquel cas la fonction est paire. En réalité, il y a un troisième cas qui représente 99,9 % des situations, qui est que ça fait ni \(F(-x)\) ni \(F(x)\), c'est-à-dire qu'en gros la fonction est ni paire ni impaire. L'essentiel, c'est que les fonctions sont ni paires ni impaires, sauf que quand on vous demande d'étudier la parité, on s'attend à ce que vous arriviez à trouver une parité ou une imparité.

Calcul de \(F(-x)\)

Alors c'est parti. Pour \(F(-x)\), je reprends cette expression et je remplace \(x\) par \(-x\). Donc mon 2 n'est pas affecté, mon cosinus je l'écris tel quel, \(3x\). Si j'ai remplacé \(x\) par \(-x\), je me retrouve avec \(-3x\). Sinus \(x\) devient sinus de \(-x\). Et c'est bon, j'ai ma base pour travailler, ça fera tout à fait l'affaire.

Application des propriétés des fonctions trigonométriques

On continue. Je vous rappelle deux informations importantes : la première, c'est que le cosinus est pair et la deuxième, c'est que le sinus est impair. Donc en gros, pour le cosinus, vous pouvez lui mettre un objet ou moins un objet, ça ne change rien. Alors que pour le sinus, ça va changer complètement le signe. Du coup, une des conséquences, c'est que \(\cos(-a) = \cos(a)\). Donc \(\cos(-3x) = \cos(3x)\). Inversement, vu que le sinus est impair, \(\sin(-a) = -\sin(a)\). Donc ici, \(\sin(-2x) = -\sin(2x)\). Et là, vous remarquez quelque chose de super intéressant, c'est que ce qu'on a ici, c'est \(F(x)\). Donc en fait, là j'ai \(-F(x)\). Donc je suis parti de \(F(-x)\) et je suis arrivé à \(-F(x)\). Conclusion, la fonction est impaire. On vous a mis des tonnes d'exercices juste en dessous, à vous de jouer, vous êtes des champions.