2. Déterminer graphiquement la parité d'une fonction

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir comment étudier graphiquement la parité d'une fonction, mais surtout comprendre comment ça va nous simplifier énormément la vie avec sinus et cosinus. On se fait ça tout de suite. Je vous rappelle qu'il y a deux options pour la parité : soit j'ai une fonction paire, auquel cas \(f(x) = f(-x)\), soit j'ai une fonction impaire et quand je calcule \(f(-x)\), je vais avoir l'opposé, c'est-à-dire \(-f(x)\).

Parité d'une fonction : cas d'une fonction paire

Comment est-ce que ça se traduit graphiquement ? Prenons le cas d'une fonction paire. Par exemple, si \(f(x)\) était paire, quand je prends \(x\) et que je calcule \(f(x)\), a priori je devrais avoir le même résultat que quand je prends \(-x\). En effet, vu qu'elle est paire, \(f(-x)\) vaut \(f(x)\). Donc, quand je vais chercher l'image de \(-x\), je devrais arriver sur \(f(x)\), ce qui est bien le cas ici avec la fonction \(f\). \(f(x)\) et \(f(-x)\) sont identiques, et c'est valable pour tous les nombres. Les fonctions qui admettent une symétrie axiale avec l'axe des ordonnées sont des fonctions paires.

Parité d'une fonction : cas d'une fonction impaire

Inversément, si j'ai une fonction impaire, quand je prends \(x\) et \(-x\), je m'attends à avoir non pas \(f(x)\) mais \(-f(x)\). Les fonctions impaires admettent une symétrie par rapport au point d'origine. En effet, où que je me place par rapport au point d'origine, j'arrive à une symétrie axiale. Donc, pour récapituler, les fonctions paires ont une symétrie axiale, les fonctions impaires ont une symétrie centrale.

Utilité de la parité d'une fonction

En quoi ça nous aide ? Imaginez que vous ayez une fonction qui soit extrêmement difficile à étudier, typiquement les fonctions sinus et cosinus. Quand vous faites le tableau de variation de \(f\), \(x\) va par exemple de \(-\infty\) à \(+\infty\) et votre fonction \(f(x)\) est paire. Plutôt que de l'étudier partout, on va juste l'étudier sur la moitié. Par exemple, si elle est croissante puis décroissante, vu que la fonction est paire, c'est-à-dire que la fonction est symétrique, elle va forcément être décroissante puis croissante. En prépa, vous allez voir qu'on réussit à étudier des fonctions ultra compliquées sur des micros intervalles et ensuite à conclure avec des parités et des périodicités à quoi ressemble la fonction sur \(\mathbb{R}\). Pour l'instant, on vous a mis des exercices en dessous. Apprenez à reconnaître les fonctions paires et impaires et apprenez à déduire de la parité la représentation graphique de la courbe. À vous de jouer, vous êtes des champions !