1. Montrer qu'une fonction est paire ou impaire

Introduction

Allez les amis, on est parti pour regarder si une fonction est paire ou impaire. C'est quelque chose que vous avez déjà fait en première et qu'on va se refaire en terminale avec des fonctions plus compliquées, mais surtout avec les fonctions trigonométriques. On se fait ça tout de suite.

Comment déterminer si une fonction est paire ou impaire

Alors, pour montrer qu'une fonction est paire ou impaire, ça n'a pas changé depuis la première. Vous allez partir de \(f(-x)\). Vous allez remplacer \(x\) par \(-x\), travailler, simplifier, simplifier, simplifier jusqu'à la fin. À la fin, vous aurez soit \(f(x)\) soit \(-f(x)\). Si vous trouvez \(f(x)\), ça veut dire que la fonction est paire. Si vous trouvez \(-f(x)\), ça veut dire que la fonction est impaire. On se le fait ici donc \(f(-x)\) c'est comme \(f(x)\) sauf que j'ai remplacé \(x\) par \(-x\). Donc ça va me donner \(\exp(-x) - \exp(-(-x)) / 2\). \(\exp(-(-x))\) ça me fait \(\exp(x)\).

Exemple d'une fonction impaire

Et là je réfléchis, je sais qu'à la fin je vais arriver soit à \(f(x)\) donc à \(\exp(x) - \exp(-x) / 2\), soit à \(-f(x)\) c'est-à-dire à \(-(\exp(x) - \exp(-x) / 2)\). En réalité, il y a un troisième cas, c'est à réuni à l'un ni à l'autre. L'essentiel des fonctions, la plus grande majorité des fonctions, elles sont ni paires ni impaires. Sauf que dans cet exercice, quand on vous dit "étudier la parité", on compte sur vous pour arriver soit à une fonction paire, soit à une fonction impaire. Donc on revient ici, on se dit : à laquelle est-ce que je vais arriver ? Est-ce que j'ai une chance d'arriver à \(f(x)\) ? Mais pour avoir \(f(x)\), il faudrait que j'ai \(\exp(x) - \exp(-x)\). Or moi, j'ai \(\exp(-x) - \exp(x)\), donc clairement, je n'arriverai pas ici. Par contre, regardez, pour avoir \(-f(x)\), il faudrait que j'ai \(-(\exp(x) - \exp(-x))\). Oui, mais moi, \(-a - b\) c'est comme \(b - a\). En fait, quand vous mettez un moins devant une soustraction, ça inverse l'ordre. Donc en fait, ce que j'ai ici, \(\exp(-x) - \exp(x) / 2\), c'est juste \(-f(x)\). Et je conclus en disant que \(f\) est impaire. Et pour ceux qui se demandent comment interpréter ça, parce que c'est bien mignon de se dire que \(f\) est impaire, à quoi ça peut nous servir de savoir que \(f\) est impaire, on va regarder dans les vidéos suivantes à quoi ça peut nous servir justement.