Introduction
Allez les amis, on est parti pour résoudre un autre cas d'exercice, celui où on vous demande de résoudre une équation du style \(y' = y + f(x)\). Sauf qu'on ne va pas utiliser la technique qui consiste à dire : je trouve une solution particulière puis une solution de \(y' = y\) puis j'additionne. Mais on va passer par une équivalence, comme dans l'énoncé qui s'affiche juste là. C'est une petite variation, on va apprendre à le faire tranquillement et ensuite vous vous en donnerez à cœur joie. On se fait ça tout de suite.
Présentation de l'exercice
Alors, l'exercice se présente de la manière suivante : vous avez une équation différentielle \(y' + y = 2 \cos(x)\). Jusque là, rien de fou. On vous demande ensuite premièrement de montrer que \(G(x)\) qui vaut \(\cos(x) + x\) est une solution particulière. Ce que vous faites à chaque fois que vous avez un exercice, on va vous demander de trouver la solution d'une équation différentielle. Sauf que dans la question 2, au lieu d'avoir tout simplement résoudre \(y' + y = 0\), vous avez démontré que la solution de la fonction \(f\) est solution de \(e\) si et seulement si la fonction \(f - G\) est solution de \(y' + y = 0\).
Démonstration
Qu'est-ce que c'est que ça ? On ne va pas se laisser impressionner, nous. On va prendre comment le démontrer très facilement parce que c'est juste une autre technique de résolution où on vous demande de redémontrer une partie du cours que certains ont considéré comme une propriété qu'on pouvait utiliser. C'est-à-dire que pour certains professeurs de maths et pour certains manuels, pour certains éditeurs, cette propriété là, le fait que \(F\) soit solution aussi et seulement si \(f - G\) est solution, c'est un truc admis. Pour d'autres, ce n'est pas admis, il faut le démontrer à chaque fois. Il y a plusieurs opinions, il y a plusieurs manières de voir l'exercice. Nous, on a vu la première technique et on va voir la deuxième maintenant.
Première question : montrer que \(G(x)\) est une solution particulière de \(e\). Donc moi, j'écris pour la première, si \(G\) est solution de \(e\), ça veut dire que j'ai le droit de prendre \(E\) et de remplacer \(y\) par \(G\). Du coup, a priori, ça veut dire que \(G' + G\) devrait être égal à \(2 \cos(x)\). On va le vérifier.
Deuxième question : démontrer que \(F\) est solution de \(e\) si et seulement si \(F - G\) est solution de \(y' + y = 0\). Donc ce qu'on vous demande de montrer en fait sur la question 2, c'est que \(F\) est solution de \(E\) si et seulement si, c'est à dire strictement équivalent à \(F - G\), donc cette fonction est solution de \(y' + y = 0\).
Et maintenant, on va partir soit de là, soit de là, et en raisonnant par équivalence, on va arriver à l'autre bout et la démonstration sera faite. Moi, ce que je vais faire, c'est que je vais partir de \(F - G\) est solution de \(y' + y = 0\). Donc ça, ça va être mon point de départ.
Donc je veux dire que \(F - G\) est solution de \(y' + y = 0\). Sauf qu'on a vu avant que \(G\) est solution de \(E\). Donc quand \(G' + G\), j'ai le droit de remplacer par \(2 \cos(x)\). Quand \(F' + F - G'\), j'ai le droit de remplacer par \(2 \cos(x)\). Donc moi, je vais faire apparaître un \(G'\) en plus. Je vais dire que ça fait \(F' + F - G' + G = 2 \cos(x)\). Et ça, ça devrait faire \(2 \cos(x)\). Donc c'est vrai, donc \(G\) est bien solution de \(E\).
Donc je suis parti de \(F - G\) est solution de \(y' + y = 0\), j'ai travaillé par équivalence et je suis arrivé à \(F\) est solution de \(y' + y = 2 \cos(x)\). Du coup, les deux propositions \(F\) est solution de \(E\) et \(F - G\) est solution de \(y' + y = 0\) sont équivalentes. Il y a un si et seulement si, et c'est terminé.
Maintenant, vous avez fait cette démonstration. Donc ça, il faut la faire, c'est la question 2. Vous pouvez répondre à la question 3 et reprendre ce qu'on a appris avant. L'ensemble des solutions de \(E\) c'est une solution particulière qu'on a trouvé ici, on a vu que \(G\) était une solution particulière de \(E\), et la solution de \(E\) à laquelle on a enlevé ce terme-là, donc juste \(y' + y = 0\), et on va additionner ces deux résultats.
Donc pour la question 3, je vous rappelle qu'on cherche deux choses. On cherche premièrement une solution particulière de \(E\) qu'on a trouvé. Cette solution, c'est \(G(x)\) qui vaut \(\cos(x) + x\). C'est ça, la solution de \(E\) pour laquelle on aura enlevé la fonction constante, donc juste \(y' + y = 0\), autrement dit \(y' = -y\). Et ça, on sait que ça va donner une solution qui est de la forme \(H(x) = k e^{-x}\) avec \(k\) un nombre réel.
Du coup, je peux en conclure que la solution générale \(S(x)\) c'est tout simplement la somme des deux, donc \(H(x)\) auquel je vais rajouter la solution particulière, donc \(\cos(x) + x\). Et ça me fait finalement \(k e^{-x} + \cos(x) + x\) avec \(k\) étant un nombre réel.
Donc vous voyez que dans cet exercice, on en arrive au même résultat, sauf que pour la question 2, on doit passer par un si et seulement si qui est extrêmement facile à démontrer. Vous voyez que ça a pris genre 3 lignes et 4 coups et j'avais montré mon si et seulement si. Ça, ça tombe au contrôle pour certains de vos profs. L'étape de la question 2, la seule qu'on a fait avec le si et seulement si, vous devez la faire à chaque fois. Donc apprenez à le faire. On part toujours de \(F - G\) est solution, on développe, on développe jusqu'à ce qu'on arrive au bon endroit. On a mis des petits exercices en dessous, à vous de jouer, vous êtes des champions.