Introduction
Allez les amis, on est parti pour voir comment résoudre des équations différentielles qui sont un peu plus compliquées que d'habitude. Plutôt que d'avoir un nombre ici, je me retrouve avec une fonction. Vous allez voir, on va gérer ça très bien.
Équations différentielles simples
Vous savez résoudre sans aucune forme de complexité \(y' = 3y\). Comme vous avez \(y' = 3y\), vous savez que les fonctions s'écrivent \(k \cdot \exp(3x)\) avec \(k\) un nombre réel. Vous savez résoudre \(y' = 3y + 2\), vous savez que les solutions s'écrivent \(k \cdot \exp(3x) - 1\). \(B\) sera donc \(- \frac{2}{3}\).
Équations différentielles plus complexes
On va apprendre comment résoudre maintenant \(y' = 3y + \exp(x)\) ou alors plus \(\sin(x)\) ou alors plus \(3x + 2\), en tout cas plus une fonction \(f(x)\). Comment est-ce qu'on va faire ça ? C'est un peu comme une petite poésie qu'il faut apprendre par cœur.
Quand vous avez une équation différentielle du style \(y' = y + f\), on va le faire en trois temps.
Premièrement, on va trouver une solution particulière. Une solution particulière, c'est une solution qui est solution de ce truc là. En général, on ne va pas vous demander de la trouver, on va vous demander de la vérifier, c'est à dire qu'on va vous la donner.
Deuxièmement, on va résoudre le même système sauf qu'on a enlevé ce bout là, donc on va résoudre \(y' = y\). Ça va nous donner une solution très simple qu'on va appeler \(v(x)\).
Une fois qu'on aura trouvé \(u(x)\) et \(v(x)\), les deux fonctions qui sont respectivement une solution particulière de ça et une solution du même système sauf qu'on aura viré le \(f\), on va dire que les solutions de \(E\), les solutions totales qu'on va appeler \(s(x)\), c'est la somme de la solution particulière donc \(u(x)\) à laquelle je vais rajouter \(v(x)\).
Par exemple, si ma solution particulière c'est \(3x + 2\) et ma solution générale c'est \(4 \cdot \exp(3x)\), ma solution ça va être \(3x + 2 + 4 \cdot \exp(3x)\). Je fais juste la somme.
Exemple
On commence. Montrer que \(f(x) = -x + 4\) est une solution de \(E\). Autrement dit, je suis en train de montrer que dans mon exemple, ce truc, je ne sais pas, \(x/4\), je suis en train de montrer que ma solution particulière, elle s'appelle \(f\). Donc ici, ça va être par exemple \(f(x)\). Ça va être donc, je vais montrer que \(u(x)\) est une solution de \(E\).
Comment est-ce que je fais pour montrer ça ? Vous le savez, on l'a déjà vu dans la compétence. Pour montrer qu'une fonction est solution d'une équation, je remplace \(y\) par la lettre. Donc je vais montrer que \(f'(x) = \frac{1}{4}f(x) + \frac{x}{4}\).
Je vais prendre \(f'(x)\), c'est la dérivée de ça, la dérivée de \(-x - 4\), c'est \(-1\). Je vais faire \(\frac{1}{4}f(x)\), donc \(\frac{1}{4}(-x - 4) + \frac{x}{4}\). \(\frac{1}{4}x\) ça me fait \(-\frac{1}{4}x\), \(\frac{1}{4}(-4)\) ça me fait \(-1 + \frac{x}{4}\). \(-\frac{1}{4}x + \frac{x}{4}\), attention, \(\frac{x}{4}\) c'est comme \(\frac{1}{4}x\), ça me fait bien à gauche \(-1\), à droite \(-1\). Donc \(f'(x)\) est bien solution de \(E\).
Ok, donc j'ai ma fonction solution particulière, ma fonction solution particulière c'est \(f(x) = -x - 4\).
Je continue, deuxième étape, donc deuxième question. Pour résoudre \(E\), il faut encore que je trouve la solution de \(y' = y\), autrement dit, ce problème là sans le \(x/15\). Je me débarrasse du \(x/4\). Pourquoi c'est cool ? Parce que ça, je sais le résoudre. \(y' = \frac{1}{4}y\), c'est facile à résoudre, on le connaît par cœur. La solution, c'est, on va l'appeler par exemple \(v(x) = k \cdot \exp(\frac{1}{4}x)\) avec \(k\) qui est un nombre réel.
Bim, j'ai mon \(v(x)\), c'est \(k \cdot \exp(\frac{1}{4}x)\). Les solutions, donc les solutions, sont les fonctions qu'on peut appeler par exemple \(s(x)\) comme solution de \(x\). On aurait pu les appeler Jean-Paul de \(x\), Jean-Michel de \(x\), Laura de \(x\), ça n'aurait rien changé. Qui va \(f(x) = -x - 4 + v(x) = k \cdot \exp(\frac{1}{4}x)\) avec \(k\) appartenant à \(\mathbb{R}\).
En plus de ça, si on me donne une condition particulière comme on l'a vu dans la vidéo, ça me permet de trouver la valeur de \(k\) et de virer le \(k\).
Je récapitule. Je commence par trouver une solution particulière, on va toujours vous la donner dans l'énoncé. Deuxièmement, je résous le même système sauf que j'enlève le bout qui m'embête, ça donne une équation extrêmement simple à résoudre. Et troisièmement, je fais la somme des deux fonctions que j'ai trouvé.
On vous a mis plein d'exercices en dessous, entraînez-vous, c'est pas si évident que ça. À vous de jouer, vous êtes des champions.