12. IPP et fonctions racines

Introduction

Allez les amis, on finit ce chapitre en regardant comment faire des intégrations par partie avec des fonctions racines et vous allez voir, c'est super joli. On se fait ça tout de suite. Vous commencez à connaître par cœur la formule de l'intégration par partie. On sait que pour faire une intégrale entre 0 et 1 d'un produit de fonction, on va calculer la primitive du produit des fonctions avec une qui aura été primitive et on va lui enlever l'inverse, donc \(UV'\).

Choix des fonctions

Si j'avais \(u'v\), la question c'est qui est \(u'\) et qui est \(V\). Quand ici vous avez une fonction qui est toute seule, l'astuce c'est toujours la même, ça consiste à dire que votre deuxième fonction c'est en fait un. Et regardez ce qui se passe si je choisis de dire que la fonction que je vais dériver c'est \(a\). Donc moi je dis que ça c'est mon \(U'\), du coup ça c'est mon \(V\). Je vais écrire \(U' = 1\), je vais écrire \(V = \sqrt{X + 2}\).

Calcul de l'intégrale

Et là je vais faire un truc étrange, c'est que quand je vais chercher une primitive de \(a\), je vais pas dire que c'est \(x\), je veux dire que la primitive de 1 c'est \(x + 2\). Pourquoi ? Parce que ça m'arrange, on va comprendre après. C'est vrai que quand on prend \(x + 2\) et qu'on le dérive, ça me fait un. De la même manière, la dérivée de \(V\), donc la dérivée de \(\sqrt{X + 2}\), ça va être \(\frac{1}{2\sqrt{X + 2}}\). Et regardez ce qu'elle devient maintenant cette formule. Et bien l'intégrale entre 0 et 1 de \(\sqrt{X + 2} \, dx\) ça devient \([UV] - \int UV' dx\), donc \((x + 2) \sqrt{X + 2}\) calculé entre 0 et 1 moins l'intégrale entre 0 et 1 de \(\frac{x + 2}{2\sqrt{X + 2}}\). Et là on se dit c'est chouette, ce truc là là haut c'est facile à calculer. \((x + 2) \sqrt{X + 2}\) calculé en 1 ça me fait \(3\sqrt{3}\) et en 0 ça me fait \(2\sqrt{2}\). Mais ce truc là par contre, impossible de le primitiver, oui sauf que regardez, vous avez quelque chose de la forme \(a\) divisé par \(2\sqrt{a}\), sauf que \(a\) pourvu que \(a\) soit positif, qui est le cas ici, c'est \(\sqrt{a} \times \sqrt{a}\) et là je peux simplifier \(a\), du coup il me reste plus que \(\frac{\sqrt{a}}{2}\). Donc tout ce truc là c'est juste \(-\frac{1}{2}\) de l'intégrale entre 0 et 1 de \(\sqrt{X + 2}\). Et ça c'est comme \(3\sqrt{3} - 2\sqrt{2} - \frac{1}{2}\) de l'intégrale entre 0 et 1 de \(\sqrt{X + 2}\). Du coup je retiens bien sur ce que j'avais là, du coup ce \(-\frac{1}{2}\) de \(\sqrt{X + 2}\) je vais le passer du côté où il y a là et je me retrouve avec à gauche l'intégrale entre 0 et 1 de \(\sqrt{X + 2} \, dx\) plus un demi de l'intégrale entre 0 et 1 de \(\sqrt{X + 2} \, dx\) tout ça valant ce machin là \(3\sqrt{3} - 2\sqrt{2}\). Donc en factorisant par l'intégrale entre 0 et 1 de \(\sqrt{X + 2} \, dx\), ce truc là j'en ai un plus un demi donc j'en ai en fait trois demi qui valent \(3\sqrt{3} - 2\sqrt{2}\). Et bien pour trouver mon intégrale j'ai juste à multiplier tout par \(\frac{2}{3}\) et je peux encadrer l'intégrale entre 0 et 1 de \(\sqrt{X + 2} \, dx\) c'est juste \((3\sqrt{3} - 2\sqrt{2}) \times \frac{2}{3}\). C'est un petit exercice un peu étrange, ça tombe au contrôle si votre prof a le goût du risque. Faites-le en dessous, on vous a tout bien corrigé. À vous de jouer, vous êtes des champions. [Musique]