10. IPP et quotients de puissances

Introduction

Allons-y, les amis, nous allons voir comment l'intégration par parties peut vous aider à résoudre des quotients de puissance. Donc, si vous avez un polynôme divisé par un autre polynôme avec une certaine puissance, vous allez voir, c'est toujours la même chose. On va faire ça tout de suite tranquillement.

Formule de l'intégration par parties

Je vous rappelle que la formule de l'intégration par parties est que l'intégrale entre \(A\) et \(B\) d'une fonction multipliée par une autre est \(UV\) calculé entre \(A\) et \(B\) - \(UV'\), autrement dit, l'intégration par parties vous donne une fonction qui va se retrouver intégrée et une fonction qui va se retrouver soit elle-même, soit dérivée. Autrement dit, s'il y a une fonction qui vous embête, vous avez l'option de la dériver et s'il y a une fonction qui est sympa, vous avez l'option de la primitive.

Application de l'intégration par parties

Premier problème, vous vous dites, mais qu'est-ce qu'il me raconte, il me parle de \(UV\), moi tout ce que je vois c'est \(U/V\). Alors, je vous dis donc qu'il faut que vous vous débrouilliez pour être capable de voir le \(UV\) ici. Et regardez ce qu'on va faire, on va l'écrire légèrement différemment. Je vous rappelle que pour transformer un quotient en produit, la meilleure chose à faire est de dire que c'est \(U\) multiplier par l'inverse de \(V\). Du coup, quand vous avez \(X/(2x + 1)^2\), ce que je vous recommande de faire, c'est de dire que c'est \(X \times 1/(2x + 1)^2\). Maintenant, on se dit qu'il y en a un qu'on doit dériver et un qu'on doit primitiver. Est-ce qu'il y en a qui est facile à primitiver parmi ces deux-là ? Je réfléchis, \(X\) c'est facile à primitiver, \(X^2/2\), ça est-ce que c'est facile à primitiver ? Pour le coup, ça c'est un divisé par \(U^2\) et vous avez un formulaire qui vous dit très simplement comment primitiver divisé par \(U^2\). Donc, moi ce que j'aurais tendance à dire en regardant cette fonction, c'est que la fonction qui va se retrouver primitivée, c'est la fonction que vous êtes capable de primitiver. Et cette fonction-là, quand je la dérive, parce que c'est ce qui va arriver à \(V\) si je dis que c'est \(V\), elle va se retrouver forcément dérivée. Mais \(X\) quand on le dérive, ça fait \(1\), moi ça ne me dérange pas du tout d'avoir un truc fois \(1\), un truc fois rien, en général c'est facile. Donc, on va dire on pose \(U' = 1/(2x + 1)^2\) et on pose \(V = X\). Comme ça, quand on dérivera \(V'\), ça vaudra \(1\) et une primitive de \(U'/U^n\), je peux la calculer grâce au formulaire qui est là et je vais le faire ici très facilement. Comment est-ce que je primitiver \(1/(2x + 1)^2\) ? Bah, je vais dire \(F(X) = 1/(2x + 1)^2\), moi je sais que c'est de la forme \(U'/U^n\), donc je vais dire \(U' = U = F\). Du coup, mon petit \(F\), c'est quoi ? Du coup, mon grand \(F\), mais après utile, ça sera quoi ? Et je commence, mon \(U'\), si c'est \(U'/U^n\), mon \(U\) c'est forcément ce que j'ai là, donc mon \(U\), oh là là, bon \(U\), ça va être \(2x + 1\). Du coup, mon \(U'\), moi je m'attends à ce que ça soit la dérivée de ce truc là, c'est-à-dire \(2\). Donc, je peux pas dire que \(F\) c'est \(U'/U^2\) parce que si c'était le cas, je devrais pas avoir \(1\), je devrais avoir \(2\), je devrais avoir \(U'\). Donc, \(2/(2x + 1)^2\), donc ce que je vais faire, c'est que je vais dire ça, \(F\) c'est pas égal à \(U'/U^2\) parce que sinon je devrais avoir un \(2\) là, mais vu que j'ai un et que je devrais avoir et de \(1/2\), je veux dire que \(F\) c'est la moitié de \(U'/U^2\). Du coup, maintenant que je sais que ma fonction petit \(F\), c'est un demi de \(U'/U^2\), j'ai qu'à dire que grand \(F\), la primitive de ça, c'est un demi de la primitive de \(U'/U^2\) et la primitive de \(U'/U^2\), c'est \(-1/U\). Donc, je sais que ma primitive grand \(F(X)\), c'est \(-1/2U\), donc \(X\) plus et je le mets ici, \(-1/(2(2x + 1))\) et j'ai bien mon \(U'\), mon \(U\), mon \(V\) et mon \(V'\) et du coup je peux me mettre à utiliser la formule qui est ici. Alors, cette formule, elle me dit que plutôt que de m'embêter à calculer l'intégrale entre \(0\) et \(1\) de \(1/(2x + 1)^2 \times X \, dX\), je peux plutôt me calculer la primitive de \(UV\), donc de \(X\) fois ça, donc de \(X\) fois \(-1/(2x + 1)\) calculé entre \(0\) et \(1\). Et à ça, je vais soustraire l'intégrale entre \(A\) et \(B\), donc l'intégrale toujours entre \(0\) et \(1\) de \(UV'\), donc de \(U\), c'est-à-dire ça, multiplié par \(V'\), donc juste \(U\), donc \(-1/(2(2x + 1)) \, dX\). Et regardez comme c'est cool, ça, je peux le calculer directement, j'ai pas besoin d'y toucher, je remplace une fois \(X\) par \(1\), une fois \(X\) par \(0\), quand je remplace \(X\) par \(0\), ça saute, donc j'ai juste à remplacer ça par \(1\) fois \(-1\), ça me fait \(-1/6\). Donc là, je me retrouve avec \(-1/6\) pour ce calcul et je peux me demander maintenant ce que je suis capable de calculer cette primitive. Bah, déjà, je vais régler le problème des signes, moi par moins, ça me fait plus. Là, je reconnais une forme, l'intégrale entre \(0\) et \(1\) de \(1/2\), regardez ce que je fais, fois \(1/(2x + 1)\) et ça, c'est tout simplement une forme de \(U'\) sur \(U\) qu'on calcule avec Hélène comme on l'a fait dans la vidéo qu'elle a. Donc, je vais vous donner directement le résultat, ça me fait \(-1/6 + 1/4 \ln(2x + 1)\) calculé entre \(0\) et \(1\) et j'ai plus qu'à finir, je le calcule en \(1\) parce qu'en \(0\), ça fera \(0\) et ça me fait \(-1/6 + 1/4 \ln(3)\) et bingo, j'ai ma primitive qui est calculée. Donc, vous voyez que encore une fois, il s'agit de se demander lequel des deux j'ai envie de primitiver ou pas et dans le cas où vous avez un \(X\) en dessous, vous le mettez à côté et c'est le \(X\) que vous allez utiliser comme fonction que vous allez dériver et le \(1/U^2\) que vous allez utiliser comme fonction à primitiver. On vous a mis des exercices en dessous, entraînez-vous, le cerveau à reconnaître qui on va garder, qui on va primitiver, qui on va intégrer, à vous de jouer, vous êtes des champions.