Introduction
Allez les amis, on est parti pour voir comment faire pour calculer des aires avec du calcul d'intégrale quand la fonction n'est pas positive mais plutôt négative. On se fait ça tout de suite.
Calcul d'intégrale pour des fonctions positives
Dans le cas d'une intégrale de fonctions positives, c'est-à-dire ce cas-là, quand je veux calculer l'aire entre \(A\) et \(B\), j'ai juste à calculer l'intégrale entre \(A\) et \(B\) de ma fonction.
Le problème c'est que si là, avec la fonction cube qui est négative quand les valeurs de \(X\) sont négatives, je m'amuse à faire ça par exemple. Je m'amuse à calculer l'intégrale entre -2 et -1 de \(2x^3 \, dx\). J'ai toujours le droit de calculer cette intégrale, j'ai le droit, rien ne m'empêche de la calculer.
J'utilise la formule qui est là, donc quand je veux calculer l'intégrale d'une fonction petit \(f\), je dois d'abord trouver une primitive grand \(F\). Donc une primitive de \(x^3\) c'est \(x^4/4\). Je la calcule entre -1 et -2 et je vais tout simplement faire \(x^4\), donc appliquer en -1 donc \((-1)^4/4 - (-2)^4/4\).
Et ça, ça va me faire \((-1)^4\) ça me fait \(1/4\) moins \((-2)^4\) ça me fait \(2, 4, 8, 16\) donc moins 16, pardon -16 parce que \((-2)^4\) ça va me faire sauter le signe donc \(-16/4\) et ça va me faire \(-15/4\).
Donc si vous vous contentez de faire l'intégrale entre -2 et -1 de \(x^3 \, dx\), vous arrivez à un résultat qui est négatif. Jamais un résultat négatif ça pourrait être égal à une aire. Vous avez déjà entendu parler d'un appartement de moins 5 mètres carrés ? Déjà c'est petit, puis c'est négatif, c'est quoi ? C'est un petit appartement au sous-sol ? Ça n'a aucun sens. Donc une aire c'est forcément positif.
Calcul d'intégrale pour des fonctions négatives
Du coup, pour simplifier le problème, c'est qu'on va prendre cette courbe là et on va la transformer en la même mais positive. Autrement dit, on va la transformer en ça et on va calculer cette aire là qui est la même, on aura juste fait le symétrique.
Comment est-ce qu'on fait pour avoir la fonction qui est le symétrique de cela par rapport à cet axe là ? C'est tout simplement la fonction \(-x^3\). Du coup, l'aire que je recherche, ce n'est pas l'intégrale entre -2 et 1 de \(2x^3\), c'est l'intégrale entre -2 et 1 de \(-x^3\).
Du coup, ma primitive c'est \(-x^4/4\) et du coup ça va me faire \(-(-1)^4/4 + (-2)^4/4\). Du coup, ça va me faire \(15/4\) et \(15/4\), ça c'est une aire.
Donc, quand la fonction est positive, je fais l'intégrale de la fonction. Quand la fonction est négative, je fais l'intégrale de moins la fonction. C'est aussi simple que ça.
On vous a mis des exercices en dessous, à vous de jouer. Vous êtes des champions.