1. Introduction aux intégrales

Introduction

Allez les amis, on est parti pour comprendre enfin à quoi servent les primitives. Pour comprendre à quoi servent les primitives, on va aussi comprendre à quoi servent les intégrales. On fait ça tout de suite.

Comprendre les intégrales

Une intégrale, ça sert à calculer l'aire sous une courbe. Vous allez vous dire, mais qu'est-ce qu'on peut bien faire avec l'aire sous une courbe ? Je vous réponds, détendez-vous, je vais vous montrer un exemple tout de suite où vous calculiez des aires sous des courbes sans le savoir. Prenons un exemple : vous prenez un bain le soir (ce qui n'est pas du tout recommandé d'un point de vue environnemental, mais ce n'est pas l'objet de la question). Donc, vous avez votre bain, vous avez votre robinet qui coule et vous êtes allongé tranquillement dans votre bain. Si je vous dis : on ouvre un robinet, on a un débit de 4 litres par minute et on ouvre le robinet pendant 3 minutes, combien de litres sont tombés ? Vous répondez instantanément : 4 litres par minute pendant 3 minutes, donc \(4 \times 3 = 12\) litres. Et vous avez raison, effectivement, on a 12 litres qui sont tombés.

Relier le débit à une aire sous une courbe

Comment est-ce qu'on peut relier ça à une aire sous une courbe ? Regardez finalement ce qu'est la fonction débit en fonction du temps. Votre débit, le débit en physique, on le note \(Q\). Le débit en fonction du temps, si je prends un temps en minutes, c'est 4 litres par minute. Donc, quel que soit le temps, je suis toujours à 4 litres par minute, ce débit ne varie jamais. Du coup, si je veux calculer combien de litres sont tombés pendant 4 minutes, ce que je fais comme calcul, c'est \(4 \times 3\). Mais en faisant \(4 \times 3\), je fais en fait cette longueur-là multipliée par cette longueur-là. Et bien, cette longueur-là multipliée par cette longueur-là, c'est l'aire du rectangle qui est là. Donc, en fait, quand vous avez calculé le débit total pendant une certaine durée, vous avez calculé l'aire sous la courbe et sans le savoir, vous avez calculé une intégrale. Dans ce cas-là, effectivement, ça n'aurait aucun sens de faire un calcul d'intégrale tant le calcul est simple. Mais imaginez maintenant que vous êtes en train de prendre votre bain tranquillement et que le robinet, plutôt que d'être tranquillement ouvert, il y a votre petite frère ou votre petite sœur qui s'amuse à le tourner ouvert, fermé, ouvert, fermé. Et que du coup, votre débit n'est plus une fonction droite, mais c'est une fonction qui fait un truc comme ça. Et bien, si vous connaissez la fonction du temps de votre frère ou de votre sœur, vous pouvez quand même calculer le débit en calculant l'aire sous la courbe. Et l'aire sous la courbe, si cette fonction je l'appelle \(F\), et bien l'aire sous la courbe, on va la noter l'intégrale, donc un grand \(S\) un peu étalé en longueur, comme une somme, entre le temps qui vaut 0 et le temps qui vaut 4, donc entre 0 et 4 de ma fonction \(F\) en fonction du temps. Et pour calculer ça, on va trouver la primitive, donc vous voyez, on fait le lien avec le chapitre primitive. La primitive de \(F\) et on va l'appliquer à 4, on va calculer \(F(4) - F(0)\) et c'est comme ça qu'on va calculer une aire avec une intégrale en utilisant des primitives. Et c'est trop stylé, ça sert partout, ça sert en physique, ça sert en économie, ça sert en biologie, ça sert en finance. Les intégrales, c'est la base, on va apprendre à maîtriser ça tout de suite. En attendant, vous êtes des champions.