Introduction
Allez les amis, on est parti pour la dernière compétence du chapitre. Ça a l'air compliqué, mais c'est très simple : trouver \(A\) et \(B\) pour qu'une fonction soit une primitive d'une autre. On se fait ça tout de suite. Ça ressemble un peu à la compétence qu'on a bossée juste avant, sauf que c'est beaucoup, beaucoup plus simple.
Explication de la méthode
Vous vous dites : "J'ai un problème. J'ai une fonction, enfin j'ai plutôt une fonction et je veux trouver sa primitive." Comme d'habitude, il y a deux manières de le faire. La manière ultra galère qui consiste à partir de \(f(x)\) le petit et arriver à \(F(x)\) le grand, c'est-à-dire primitive. Ou une manière très simple qui consiste à partir de grand \(F\) et de descendre vers petit \(f\) en dérivant tout simplement. L'inverse de la primitive, c'est la dérivée.
Exemple concret
Si je vous demande, alors j'aime bien ce petit exemple, j'aime bien, je suis obligé de le dire. Vous voyez les Kapla imaginaires, un tas de Kapla, d'accord. Donc c'est voilà, c'est un tas de Kapla très mal dessiné. Imaginez genre une représentation de la Tour Eiffel. Voilà, ça peut aussi mal défiler en Kapla, d'accord. Donc moi, je vous amène ça, un tas de plat, une représentation de la Tour Eiffel et je vous demande de montrer qu'il y a autant de Kapla dans ça que dans ça. Qu'est-ce que vous allez faire ? Est-ce que vous allez vous amuser à construire la tour Eiffel ou est-ce que vous allez mettre un coup de pied dedans, compter les Kapla, compter les Kapla et dire que ça la même chose ? Bah évidemment, vous allez pas aller du plus simple vers le plus compliqué, vous allez du plus compliqué vers le plus simple. Vous êtes paresseux, c'est ça qui fait que finalement vous trouvez des solutions intelligentes.
Application de la méthode
Donc plutôt que de chercher à prouver ça, on va plutôt prendre le grand \(F\) et le dériver. On va le dériver, on va dire : "Je veux que ce que je trouve soit égal à petit \(f\)", et ça va nous permettre de trouver les valeurs de \(A\) et \(B\).
En pratique, \(F'(x)\) c'est la dérivée de \(Ax + B\) exponentielle de \(x\). Surtout pas la dérivée de \(Ax\), c'est à dire \(A\) exponentielle de \(x\), surtout pas ça. C'est \(u'v + uv'\). Donc ça me fait \(u'v + uv'\). La dérivée de \(u\), la dérivée de \(Ax + B\), c'est \(Ax\). La dérivée de \(v\), c'est exponentielle de \(x\). Donc \(u\), donc \(Ax + B\), fois la dérivée de exponentielle de \(x\), et exponentielle de \(x\), c'est cool, c'est elle-même.
Ensuite, je factorise ici et ici, ça me fait exponentielle de \(x\) fois \(A + Ax + B\). Ensuite, je trie les \(x\) ensemble, les non-\(x\) ensemble, ça fait la deuxième fois qu'on fait ça. Facteur \(2Ax\) qui est le seul à veille de \(x + A + B\).
Et je réfléchis, je veux, je le veux, c'est ce que m'a demandé, que ce truc là, quand je dérive, ça me donne ça. Donc ça, je veux que ça soit exponentielle de \(x\) fois \(x\). Donc je veux que ça, ça soit égal à ça. Forcément, l'exponentielle, c'est la même chose, donc ça, c'est égal à ça. Autrement dit, ça, c'est égal à \(x + 0\). Vous le voyez ou pas ? Exponentielle de \(x\), exponentielle de \(x\), c'est exponentielle de une fois \(x + 0\). Autrement dit, ce que j'ai là, le zéro, c'est mon \(A + B\). Donc je peux déjà écrire que \(A + B\) est égal à 0. Ce que j'ai devant mon \(x\) là, c'est pas 0, c'est 1, parce que je vais devant là, le 1, c'est ce que j'ai ici. Donc j'ai \(A\) qui vaut 1 et \(1 + B\) qui vaut 0, mais du coup \(B\) vaut -1.
Conclusion
Conclusion : \(A = 1\) et \(B = -1\). Et c'est terminé, c'est terminé, c'est aussi simple que ça. On vous en avez mis en dessous, à vous de jouer, champions !