14. Limites : taux de variation caché

Introduction

Allons voir un petit cas particulier de calcul de limites qui est vraiment intéressant. C'est celui où on veut nous faire calculer des limites et nous montrer qu'il y a un taux de variation caché, qu'il y a un nombre dérivé qui est caché. C'est très amusant et instructif. En faisant cela, vous allez apprendre à les reconnaître. Il y en a aussi avec d'autres fonctions. Ce que nous allons utiliser, c'est la définition du nombre dérivé.

Définition du nombre dérivé

Je vous rappelle la définition du nombre dérivé pour ceux qui ont oublié les calculs de première. La limite quand \(x\) tend vers \(a\) de \(\frac{f(x) - f(a)}{x - a}\). Pour des raisons pratiques, on avait préféré dire que c'était la limite quand \(h\) tend vers zéro de \(\frac{f(a + h) - f(a)}{h}\). Mais ce n'est pas cette définition que nous visons ici, c'est vraiment la première. Le nombre dérivé en \(a\) est la limite de \(\frac{f(x) - f(a)}{x - a}\).

Application à la fonction exponentielle

Prenons par exemple la fonction exponentielle. On a \(\frac{e^x - e^0}{x - 0}\). Cela semble un peu compliqué, mais comment allons-nous modifier cela pour le faire apparaître comme la définition du nombre dérivé ? Nous identifions que notre \(a\) ici est zéro, notre \(f(x)\) est \(e^x\) et notre \(f(a)\) devrait être \(e^0\). Sauf que \(e^0\) est égal à 1. Donc, nous avons bien la limite quand \(x\) tend vers zéro de \(\frac{e^x - e^0}{x - 0}\), soit la limite quand \(x\) tend vers zéro de \(\frac{e^x - 1}{x}\). Cela correspond au nombre dérivé de la fonction exponentielle calculé en 0. Sauf que la dérivée de la fonction exponentielle en 0 est \(e^0\), soit 1. Donc, la limite est égale à 1. C'est une petite astuce à retenir, elle peut être le point bonus d'un contrôle. J'aimerais que vous vous en souveniez. À vous de jouer, nous vous avons préparé des exercices en dessous.