Introduction
Allez les amis, on est parti pour la première des deux techniques qui va vous permettre de lever une indétermination zéro sur zéro, un quotient de zéro. On se fait ça tout de suite. Donc, ça c'est vraiment le cas typique où vous avez un polynôme divisé par un polynôme. On vous demande une limite quand \(x\) tend vers 2, vous dites : pas compliqué, le bas, ils sont -2, ça va tendre vers zéro. Le 2, ça va faire \(4 + 2 - 6\), ça va me faire zéro. J'ai zéro sur zéro, BIM, je suis face à une forme indéterminée, je ne peux rien faire. Comment est-ce qu'on va modifier ça ?
Factorisation du polynôme
Et bien, on va factoriser le haut, non pas par le plus haut degré comme on le faisait avant, mais sous forme de \(X - X1\) et \(X - X2\) avec les deux racines. En effet, ce que vous avez oublié de première, mais ce que je vais vous rappeler maintenant, c'est qu'un polynôme du second degré \(ax^2 + bx + c\) ça peut se factoriser en \(a \cdot (X - X1) \cdot (X - X2)\). Pour ça, on va calculer les deux racines. Pour les nombres là, ça commence à vous revenir.
Donc, il nous faut le delta. Le delta ici, c'est \(b^2 - 4ac\), donc \(1^2 - 4 \cdot 1 \cdot -6\), donc \(1 + 24 = 25\). Ça me donne deux racines \(X1\) qui vaut \(-b - \sqrt{25}\) donc \(-1 - 5\) sur 2 et \(X2\) qui vaut \(-1 + 5\) sur 2. Donc, ça, ça me fait \(-6\) sur 2, ça me fait \(-3\) et ça, ça me fait \(4\) sur 2, donc ça me fait \(2\). Je sais que mon polynôme, je peux l'écrire : la limite n'échange pas \(x - X1\) donc \(x - 3\) donc \(x + 3\) multiplié par \(X - X2\) donc \(x - 2\) divisé par \(X - 2\).
Simplification et résultat
Et là, magie, beauté de la simplification, BIM, il me reste plus que la limite de \(X - 3\) quand \(x\) tend vers 2 et la limite de \(X - 3\) quand \(x + 3\) quand \(x\) tend vers 2, c'est \(2 + 3\), c'est \(5\). Et c'est aussi simple que ça. Voilà la première technique pour lever des 0 sur 0. On vous a mis des petits exercices en dessous et je vais vous le cerveau. La deuxième, elle est un peu plus piquante et elle arrive juste après. À vous de jouer, vous êtes des champions.