8. Lever une indétermination +∞ - ∞

Introduction

Allez les amis, on est parti pour résoudre notre première forme d'indétermination avec une fonction \(f(x)\). C'est le cas où on a \(+\infty - \infty\). On se fait ça tout de suite. Vous êtes en train de faire un exercice où on vous demande la limite en \(+\infty\) de \(x^2 - 3x\).

Identification de la forme d'indétermination

Commençons tranquillement. \(x^2\) tend vers \(+\infty\) et \(3x\) tend aussi vers \(+\infty\). Donc, on a \(+\infty - +\infty\). Vous savez que les quatre formes d'indétermination sont \(0/0\), \(+\infty / +\infty\), \(+\infty \times 0\) et \(+\infty - +\infty\). On est clairement sur la dernière forme, qui est \(+\infty - +\infty\). Comment est-ce qu'on va s'en sortir ?

Résolution de l'indétermination

Je vais résoudre toujours de la même manière, en factorisant par le terme de plus haute puissance, c'est-à-dire par le terme le plus costaud. Ici, le terme le plus costaud c'est \(x^2\). Donc, avant de calculer cette limite, on va d'abord arranger légèrement ça. On va dire que cette limite c'est la même que la limite quand \(x\) tend vers \(+\infty\) de \(x^2\) fois quelque chose. Pour ne pas se tromper, on se dit qu'on a deux termes, donc là je devrais avoir deux termes. J'ai un \(+\infty - +\infty\), donc là je devrais avoir un \(+\infty + \infty\). Je réfléchis à ce que je vais mettre ici. Mon \(x^2\), par quoi il était multiplié ? Ce \(x^2\), en fait on ne l'a pas dit, mais c'était \(x^2 \times 1\). Du coup, ce que je vais mettre ici, c'est \(1\). De cette manière, quand je redévelopperai, j'aurai \(x^2 \times 1\) et je retrouverai bien mon \(x^2\). Ensuite, par quoi est-ce que je dois multiplier \(x^2\) pour retrouver \(3x\) ? Vous vous dites peut-être qu'en fait c'était impossible, on ne pouvait pas factoriser par \(x^2\) parce qu'il n'y a pas de \(x^2\) ici. Mais en fait, on a \(x \times x\), sauf que je n'ai pas le droit de faire ça, je n'ai pas le droit sauf si je divise par \(x\) avant. Et je me retrouve du coup avec \(2x \times x\) qui me fait en fait \(2x^2\). Et du coup, en fait, ce qu'ils voulaient, c'était lier \(x^2\) dans le deuxième terme, celui qui est après le moins, c'était \(3/x\). Donc là, je me retrouve avec \(3/x^2\). Même pour le \(2\), je ne peux pas le factoriser par \(x^2\) parce que je n'ai pas de \(x^2\). En fait, si je voulais, je pourrais le faire à condition de le diviser par \(x^2\). Du coup, je factorise \(x^2\) et j'obtiens \(2/x^2\). Vous vous demandez peut-être pourquoi on s'embête à faire ça. Regardons maintenant le calcul de la limite. \(x^2\) tend toujours vers \(+\infty\), ce truc là, ça tend vers \(1\), ça qui tend vers \(0\), plus ça qui tend vers \(0\). Donc ça, c'est \(1 + 0 + 0\), ça fait \(1\). Et on a levé l'indétermination. Quand vous avez \(+\infty - +\infty\), la seule technique pour lever l'indétermination que vous avez, c'est celle-là : factoriser par le plus haut degré. On vous a mis des exercices en dessous pour vous entraîner. Ça vous fera du bien. Allez, vous êtes des champions !