Introduction
Allez les amis, on est parti pour voir comment multiplier des limites. On se fait ça tout de suite. Pour multiplier des limites, rien de plus simple. On se souvient ou on apprend que le seul cas où vous avez un problème, c'est quand on a \(0\) fois plus ou moins l'infini. Tous les autres cas, on a les règles à la calculette ou en utilisant son bon sens et son intelligence. Soit \(0\) fois plus ou moins l'infini qui va nous donner une forme indéterminée.
Exemple 1
Je commence avec la première limite quand \(x\) tend vers l'infini de \(3x\). Mais là , vous allez me dire, mais attends, on a déjà fait ce truc là , c'est pas du tout un produit. En fait, c'est un produit qui est tellement simple qu'on y pense même pas. En effet, \(3x\) c'est \(3\) fois \(x\). La limite quand \(x\) tend vers plus l'infini de \(3\) c'est évidemment \(3\) parce que \(3\) ne dépend pas de \(x\). Donc quand vous faites la limite en plus l'infini de \(3\), ça reste \(3\). La limite en plus l'infini de \(x\) c'est plus l'infini. J'ai un produit au milieu, \(3\) fois l'infini, ça me donne plus l'infini. Aucun problème. Si j'avais eu moins l'infini, trois fois moins l'infini, ça me fait moins l'infini. On retrouve le résultat qu'on a intuitivement depuis le début de ce cours.
Exemple 2
Limite en plus l'infini de quand \(x\) tend vers l'infini de \(3x\) fois \(x^2 - 1\). Donc on a un bloc multiplié par un deuxième bloc, on va les faire séparément. La limite en moins l'infini de \(3x\), \(x\) tend vers moins l'infini, \(3x\) tend vers - l'infini. La limite en moins l'infini de \(x^2 + 1\), alors là il y a une petite somme. Maintenant, c'est les faire les sommes. \(x^2\) quand \(x\) tend vers - l'infini, ça fait un nombre très grand, sauf que moins par moins ça fait plus, donc très grand et positif, donc plus l'infini. Plus \(1\), ça fait plus l'infini. La limite de ce truc là , c'est donc plus l'infini. Moins l'infini fois plus l'infini, là vous avez un doute, vous dites, mais l'infini fois plus l'infini, c'est quoi ? C'est une forme déterminée ? Non, ce n'est pas une forme déterminée. La seule forme indéterminée qu'on a, c'est \(0\) fois plus ou moins l'infini. C'est le seul cas où on ne sait pas, est-ce que c'est plus l'infini, est-ce que c'est \(0\), est-ce que c'est \(3\), aucune idée. Tous les autres, vous le savez, notamment moins l'infini fois plus l'infini. Si vous avez un doute, vous prenez votre calculette, vous tapez - \(1\) milliard fois \(1\) milliard, vous allez avoir moins un milliard de milliards. Moins un milliard de milliards, c'est un nombre négatif extrêmement grand, donc ça me fait moins l'infini. Voilà , c'est aussi simple que ça. Il n'y a pas de stress, on prend les problèmes, on les casse en deux problèmes, dont un qui est lui-même une somme de deux problèmes. Ça s'appelle la méthode cartésienne, prendre un gros problème et le casser en une série de petits problèmes.
Exemple 3
Limite en plus l'infini de \(3x\) fois \(x^2 - 2\). J'ai bien un \(x\), j'ai un problème ici, un problème là . Ça, on l'a vu dans la vidéo précédente. Limite de \(3\) sur \(x\), \(x\) tend vers l'infini, c'est un quotient. Le haut, c'est un nombre, le bas, c'est plus l'infini. Combien de fois je vais faire rentrer \(x\) dans \(3\), sachant que \(x\) est infiniment grand ? Combien de fois je vais faire rentrer une infinité d'œufs dans une boîte qui peut en contenir \(3\) ? Aucune fois, je n'arriverai jamais à faire rentrer une infinité d'œufs dans une boîte de trois œufs. Donc ça, ça me fait \(0\) fois \(x^2 - 2\). Donc là , je le casse en deux problèmes. J'ai un problème moins un problème. En plus l'infini, \(x^2\) ça fait plus l'infini. Plus l'infini - \(2\), ça reste plus l'infini. Donc, \(0\) fois plus ou moins l'infini, ça c'est une forme indéterminée. On va apprendre à les régler. Pour l'instant, tout ce que je vous demande, c'est d'être capable de les reconnaître. On vous a mis des petits exercices en dessous pour vous faire chauffer les cerveaux. À vous de jouer, vous êtes des champions.