Introduction
Allez, on est parti pour voir les premiers cas d'opération sur les limites à la somme et la soustraction. On se fait ça tout de suite. Alors globalement, quand vous êtes face à des sommes ou des soustractions de limites, vous avez deux options : soit vous apprenez un espèce de tableau gigantesque, que je n'ai jamais eu la foi d'apprendre et que je ne conseille à personne, soit vous retenez que le seul cas qui va vous donner un problème c'est quand vous avez \(+\infty\) auquel vous essayez de soustraire \(+\infty\). Tout le reste, ce sont des cas que vous pouvez régler avec la calculatrice et votre intelligence, je vous le garantis. Et je vous en donne une démonstration tout de suite.
Exemple 1
Prenons la limite quand \(x\) tend vers l'infini de \(2 + 3x\). Je vais le faire par bloc. Je sais que la limite de \(3x\) quand \(x\) tend vers l'infini c'est \(3 \times \infty\) et \(3 \times \infty\) ça reste infiniment grand. Donc ici j'ai \(+\infty\). Si je prends \(+\infty\) et que j'ajoute 2, ça fait \(+\infty + 2\), sauf que \(+\infty + 2\) ça reste quand même infiniment grand. Donc je me retrouve avec \(+\infty\). Aussi simple que ça.
Exemple 2
Prenons la limite quand \(x\) tend vers \(+\infty\) de \(2x^2 - 3x\). Je sais que \(x^2\) est infiniment grand quand \(x\) est infiniment grand. Donc ici j'ai \(+\infty\). Si je prends \(+\infty\) et que je soustrais \(3x\) (qui est aussi infiniment grand car \(x\) tend vers \(+\infty\)), j'obtiens \(+\infty - \infty\). Sauf qu'avec les limites, les règles de signes s'appliquent au même titre qu'avec les nombres. Du coup, soustraire \(+\infty\) c'est comme ajouter \(+\infty\), c'est \(+\infty\). Donc je me retrouve avec \(+\infty\).
Exemple 3
Prenons la limite quand \(x\) tend vers \(+\infty\) de \(x^2 - 3x\). La limite de \(x^2\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\) est \(+\infty\). La limite de \(3x\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\) est aussi \(+\infty\). Donc ici j'ai \(+\infty - \infty\), qui est une forme indéterminée. C'est vraiment le seul cas problématique. Tous les autres cas, vous pouvez les régler avec votre intelligence.
Rédaction
Comment est-ce qu'on rédige proprement une démonstration de limite ? Pour être irréprochable, si vous voulez vraiment obtenir une bonne note et que vous devez calculer cette limite, vous allez la décomposer en plusieurs parties. Vous allez dire : "Je commence par calculer la limite de \(x^2\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\), c'est \(+\infty\). Ensuite, je calcule la limite de \(3x\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\), c'est \(+\infty\). Enfin, par soustraction, je calcule la limite de \(x^2 - 3x\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\), c'est \(+\infty - \infty\), qui est une forme indéterminée." Et là, vous êtes irréprochable. Vous avez décomposé l'opération en plusieurs parties, calculé chaque partie, indiqué l'opération effectuée et obtenu le résultat final.
Retenez qu'en cas de somme ou de soustraction de limites, il n'y a pas de tableau à apprendre. Tout est calculable à la tête ou à la calculatrice, avec du bon sens, sauf le seul cas de forme indéterminée qui est \(+\infty - \infty\).