Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Exercice 4

Introduction

Allons-y, les amis, nous allons examiner un cas typique d'exercice du bac. On vous donne un tétraèdre \(EGBF\) et vous avez besoin de calculer sa hauteur pour utiliser la fameuse formule \(\frac{1}{3}\) de la base fois la hauteur pour le volume du tétraèdre. Nous allons faire cela tout de suite.

Calcul de la hauteur du tétraèdre

Ici, il s'agit du tétraèdre \(EGBF\). Donc, ce tétraèdre est celui qui prend \(EGB\) comme base et \(CF\) comme hauteur. Pour trouver cette longueur, vous avez les coordonnées du point \(F\), vous allez les trouver et vous allez utiliser la formule de la racine des coordonnées de \(F\) moins les coordonnées de \(I\). La question que nous nous posons est comment trouver les coordonnées de l'intersection de la droite perpendiculaire au plan \(EGB\). Pour trouver cette intersection, vous allez avoir besoin de deux choses : vous allez avoir besoin de l'équation de la droite \(FI\) et de l'équation du plan \(EGB\). Le problème est que pour faire l'équation de la droite \(FI\), il vous faut un vecteur qui est colinéaire à \(FI\), et pour faire l'équation du plan \(EGB\), il vous faut un vecteur qui est perpendiculaire au plan \(EGB\). Dans les questions que vous avez eues auparavant, d'une manière ou d'une autre, on vous a donné un vecteur normal. Donc, allez chercher dans votre exercice quel est le vecteur normal au plan \(EGB\), car ce vecteur normal va vous servir à avoir l'équation du plan \(EGB\), et en plus de cela, ce vecteur normal au plan \(EGB\) va vous servir à donner la direction de la droite \(FI\).

Calcul de l'intersection et de la norme

Maintenant que j'ai l'équation du plan, je vais pouvoir la réécrire proprement ici. Donc, mon équation de plan est finalement \(x - y + z = 0\). J'ai l'équation du plan \(EGB\) et l'équation de la droite \(FI\), je cherche le point d'intersection. Pour trouver l'intersection, on prend tout simplement \(x\), \(y\) et \(z\) et on les remplace par \(x = t\), \(y = -t\) et \(z = 2t\). Cela nous donne \(t = -\frac{1}{3}\). Une fois que j'ai la valeur de \(t\), pour avoir les coordonnées du point, je les remets ici, cela va me donner les coordonnées du point \(I\), qui sont \(\frac{2}{3}\), \(\frac{1}{3}\), \(\frac{2}{3}\). Maintenant que j'ai les coordonnées du point \(I\), je peux calculer les coordonnées du vecteur \(IF\) et ensuite je calcule la norme de \(IF\). Les coordonnées du vecteur \(IF\) sont \(\frac{1}{3}\), \(-\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{3}\). Enfin, je peux calculer la valeur de ma hauteur, c'est-à-dire de la distance entre \(I\) et \(F\), en utilisant la formule \(\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\), ce qui donne la longueur \(\sqrt{\frac{1}{3}}\).

Conclusion

Pour récapituler, dans ces exercices, vous avez besoin de trouver les coordonnées des points, de mettre en équation le plan \(EGB\), de mettre en équation la droite \(FI\) en utilisant le vecteur normal qui vous a été donné. Ensuite, vous allez trouver l'intersection. Une fois que vous avez l'intersection, vous calculez la norme du vecteur \(IF\). La norme du vecteur \(IF\) sera la norme de la hauteur. Maintenant, c'est à vous de jouer. Vous êtes les champions !