Introduction
Allons-y, les amis, nous allons déterminer la nature d'un triangle dans l'espace lorsque vous avez les coordonnées ou lorsque vous pouvez calculer les coordonnées. Je vous rappelle qu'un triangle peut être soit équilatéral, soit isocèle, soit aucun des deux. Un triangle équilatéral a tous les côtés identiques, un triangle isocèle a deux côtés identiques, et dans le reste des cas, aucun côté n'est identique. Parmi les triangles qui n'ont aucun côté identiques, il y a deux types : ceux qui sont rectangles et ceux qui ne le sont pas.
Calcul des longueurs
Donc, lorsque vous avez trois points et qu'on vous demande de déterminer la nature d'un triangle, notamment pour des problématiques de calcul d'aire, la première étape consiste à calculer toutes les longueurs. Vous calculez \(AB\), \(AC\) et \(BC\). Ainsi, vous pouvez instantanément déterminer si le triangle est équilatéral ou isocèle. Si les longueurs sont toutes égales, le triangle est équilatéral. Si deux longueurs sont égales, le triangle est isocèle. Si le triangle est équilatéral, vous pouvez vous arrêter là, car un triangle équilatéral ne peut pas être rectangle. Dans les autres cas, vous vérifiez si le triangle est rectangle ou non en utilisant la réciproque du théorème de Pythagore.
Nous avons donc calculé nos trois longueurs : \(4\), \(8\) et \(\sqrt{80}\). Le triangle n'est clairement pas équilatéral. Est-il isocèle ? Non plus, car aucun des côtés n'est égal à un autre.
Vérification de la nature du triangle
La dernière option est de vérifier si le triangle est rectangle. Pour cela, nous allons utiliser la réciproque du théorème de Pythagore. Si le carré de l'hypoténuse (c'est-à-dire le carré du côté le plus long) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle. Le problème est de déterminer quelle est l'hypoténuse. Nous savons déjà que ce n'est pas \(4\), mais est-ce \(8\) ou \(\sqrt{80}\) ? En calculant, nous trouvons que \(\sqrt{80}\) est environ \(8,9\), donc c'est le côté le plus long. Nous vérifions donc si \(\sqrt{80}^2\) est bien égal à la somme des carrés des deux autres côtés, c'est-à-dire \(4^2 + 8^2\). Nous trouvons que \(80 = 16 + 64\), donc notre triangle est rectangle.
En conclusion, notre triangle est rectangle, mais ni isocèle ni équilatéral. Cette méthode est très utile pour les examens et les contrôles pour calculer des aires. Entraînez-vous avec quelques exercices et nous passerons à la compétence suivante : comment calculer des aires et des volumes de triangles dans l'espace. C'est ce qui vous attend le jour de l'examen ou du contrôle. À vous de jouer, vous êtes les meilleurs !