10. Vérifier si un point est un projeté orthogonal

Introduction

Allons-y, les amis, nous allons voir très rapidement comment montrer qu'un point est le projeté orthogonal sur une droite et sur un plan. On vous donne deux points A et H et on vous demande de montrer que H est le projeté orthogonal de A sur un plan ou une droite. Dans les deux cas, vous allez faire votre démonstration en deux étapes.

Projection sur une droite

Pour une droite, je vais placer mon point A ici, mon point H là et ma droite comme ça. La première chose que vous allez vérifier est si H est effectivement orthogonal à la droite, c'est-à-dire si mon vecteur \(\overrightarrow{AH}\) est orthogonal à la droite. Une fois que j'ai vérifié cette orthogonalité avec un produit scalaire, je vais vérifier le deuxième point qui est si H est bien sur la droite ou s'il est plus loin. Pour vérifier l'orthogonalité, on va utiliser le vecteur directeur de notre droite. Quand je vous ai donné une équation paramétrique, le vecteur directeur, vous lisez ses coordonnées (5, -2, 1). Le vecteur \(\overrightarrow{AH}\) est très facile à calculer parce que c'est celle de H - celle de A donc (1, 2, 3) - (1, 1, 1) ça me fait un vecteur \(\overrightarrow{AH}\) de coordonnées (0,1,2). Pour vérifier que mon vecteur \(\overrightarrow{AH}\) est orthogonal au vecteur directeur, je fais le calcul du produit scalaire. La deuxième chose à vérifier est que le point H est bien sur ma droite. Pour cela, je vais vérifier que les coordonnées de mon point H peuvent satisfaire les coordonnées de la droite. Donc, j'ai bien une seule valeur de t, -1, qui me permet d'avoir les coordonnées du point H sur la droite et donc le point H appartient bien à la droite. Donc, le point H est à la fois orthogonal en tant que vecteur à la droite et en même temps il appartient à la droite. Les deux conditions sont remplies donc je peux dire que H est le projeté orthogonal de A sur la droite.

Projection sur un plan

Pour un plan, je vais montrer deux choses : premièrement que mon vecteur \(\overrightarrow{AH}\) est bien perpendiculaire au plan, c'est-à-dire qu'il est normal au plan, et deuxièmement que le point H appartient au plan. Pour montrer que le vecteur \(\overrightarrow{AH}\) est perpendiculaire au plan, on va montrer que ce vecteur a la même direction que le vecteur normal au plan. Deux vecteurs qui ont la même direction sont des vecteurs colinéaires, donc on va montrer que \(\overrightarrow{AH}\) est colinéaire au vecteur normal. Pour vérifier que le point H est bien sur le plan, je vais prendre les valeurs des coordonnées de H et les remplacer dans l'équation du plan. Si l'égalité est vraie, alors le point H appartient au plan. Donc, H est le projeté orthogonal de A sur le plan. Nous avons mis des petits exercices en dessous, aussi bien dans un cas que dans l'autre. Faites-les, ce sont des compétences très basiques qui servent au contrôle, qui servent au bac, ça tombe tous les ans. À vous de jouer, vous êtes des champions.