9. Équation d'un plan perpendiculaire à une droite

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir comment faire pour donner l'équation cartésienne d'un plan quand on vous dit que ce plan est perpendiculaire à une droite et qu'on vous donne l'équation paramétrique de la droite. On se fait ça tout de suite.

Équation paramétrique de la droite

On vous donne une droite, d'accord avec vous, vous l'avez ici avec un vecteur directeur que vous pouvez facilement extraire de l'équation de la droite. Parce que je vous rappelle encore une fois que quand on vous donne une droite sous forme d'une équation paramétrique, ce qui est devant, ce sont les coordonnées du vecteur directeur. Le vecteur directeur c'est \(2, -1, 1\). Et ce qui est derrière, c'est \( -5, 0\), ce sont les coordonnées d'un point de passage dont on se contrefout dans cet exercice.

Équation du plan

On vous demande de trouver l'équation du plan, qui est perpendiculaire à cette droite. Je vous rappelle que pour trouver l'équation d'un plan, vous avez besoin des coordonnées d'un vecteur normal à ce plan et d'un point de passage. Le point de passage, il est tout trouvé, c'est l'origine. Maintenant, le vecteur normal à ce plan, qu'est-ce que ça pourrait être ? Un vecteur normal, eh bien, on vous a dit que cette droite était perpendiculaire au plan. Donc le vecteur qui dirige cette droite, c'est aussi le vecteur qui est normal au plan. Donc en fait, les coordonnées du vecteur normal, ça pourrait être \(2, -1, 1\). Vous voyez qu'on se sert du vecteur directeur comme d'un vecteur normal pour le plan, parce que si la droite est normale au plan, alors le vecteur directeur de la droite est aussi un vecteur normal au plan. Du coup, mon plan \(P\), je sais qu'il s'écrit \(ax + by + cz + d = 0\). C'est l'équation de mon plan avec \(a, b, c\) les coordonnées d'un vecteur normal. Donc \(2x - y + z + d = 0\). Et pour trouver la dernière valeur de \(d\), il suffit de remplacer \(x, y, z\) par un point de passage, l'origine dans ce cas, pour obtenir les coordonnées \((0,0,0)\). Donc \(2 \times 0 - 0 + 0 + d = 0\), autrement dit \(d = 0\). Donc finalement, mon plan c'est \(2x - y + z = 0\). Et voilà, c'est dans le sac, c'est plié. On vous a mis des exercices comme ça juste en dessous, entraînez-vous, vous êtes des champions !