Introduction
Allons voir un cas typique de ce qui vous attend au bac ou en contrôle. Comment donner l'équation cartésienne d'un plan sachant qu'on ne vous a pas donné un vecteur normal, mais qu'on vous a donné deux vecteurs de ce plan ? On s'y met tous, on est dans un cube et on veut donner l'équation du plan ABA.
Problématique
En fait, le plan qui traverse le cube comme ça, on ne vous donne pas deux vecteurs normaux. Par contre, on vous donne un vecteur normal de manière indéterminée en vous disant : "Montrez que ED est orthogonale au plan ABH". On ne vous le donne pas directement, on vous demande de le montrer. On ne vous donnera quasiment jamais comme mission de trouver l'équation cartésienne d'un plan si on ne vous a donné que deux vecteurs du plan. Pourquoi ? Parce qu'en pratique, c'est très compliqué de trouver à partir de deux vecteurs du plan un troisième vecteur qui soit perpendiculaire.
Solution
Pour donner l'équation du plan ABH, il vous faut un point de passage (facile, A ou B) et un vecteur qui soit perpendiculaire à AB. C'est très compliqué par le calcul de trouver un vecteur qui soit perpendiculaire aux deux autres en terminale. En prépa ou une fois en maths supérieures, vous avez le produit vectoriel qui permet à partir de deux vecteurs d'en trouver un troisième qui est perpendiculaire.
Dans cet exercice, on va vérifier que ED est orthogonale au plan ABH pour se servir ensuite de ED pour donner l'équation cartésienne de ABH. Pour montrer que ED est perpendiculaire, on va montrer que ED est perpendiculaire à deux vecteurs du plan, par exemple AH et AB, qui ne sont pas colinéaires.
Pour montrer que ED est perpendiculaire à AH, on utilise le fait que ED et AH sont les deux diagonales d'un carré et que les diagonales d'un carré se coupent de manière perpendiculaire. Ensuite, on montre que ED est perpendiculaire à un deuxième vecteur de ce plan, AB. On calcule le produit scalaire de ED et AB, qui donne zéro puisque deux côtés consécutifs d'un carré sont perpendiculaires et que le produit scalaire en cas de perpendicularité est nul.
On a donc montré que ED est perpendiculaire à deux vecteurs du plan AH et AB qui ne sont pas colinéaires. On en déduit une équation cartésienne de ABH. Pour cela, on utilise les coordonnées du point A et du vecteur ED. On obtient l'équation cartésienne \(0x + y - z = 0\).
En conclusion, n'ayez pas peur, c'est une équation cartésienne de plan. On vous a mis des exercices en dessous qui reprennent cette manière de procéder. Entraînez-vous, c'est ce qui tombe vraiment au contrôle. À vous de jouer, vous êtes des champions !