3. Vérifier que deux représentations paramétriques sont la même droite

Introduction

Allez les amis, on est parti pour s'amuser un peu à regarder si deux représentations paramétriques de droite ne sont pas en fait les représentations de la même droite écrite différemment. On s'y met tout de suite.

Comparaison des coefficients directeurs et des points de passage

Je vous vois venir, vous vous dites : "Non, là j'ai une représentation de droite dans ma tête. La droite a un coefficient directeur et un point de passage. Si la droite à côté n'a ni le même coefficient directeur ni le même point de passage, il n'y a aucun moyen que ces deux droites, qui n'ont pas la même pente et pas le même point de passage, soient identiques." Regardez, ce n'est pas si évident que ça. Si je prends par exemple cette droite, dans le premier cas, j'ai le droit de choisir un point \(A\) comme point de passage et un coefficient directeur qui est par exemple celui-là. Mais je pourrais tout aussi bien dire que mon point de passage c'est celui-là et mon coefficient directeur c'est celui-là. Donc pour une même droite, on peut avoir des points de passage différents et des coefficients directeurs différents et pourtant, cette droite c'est la même.

Vérification de la colinéarité des vecteurs directeurs

On va débuter par la première étape : on va vérifier si on n'est pas dans le cas de coefficients directeurs qui sont colinéaires. Si les vecteurs directeurs sont colinéaires, alors c'est possible que ce soit la même droite. Ce n'est pas sûr, il faudra vérifier les points de passage, mais la première chose à vérifier c'est : est-ce que les vecteurs directeurs sont colinéaires ? Donc on va prendre cette droite, on va en sortir un vecteur directeur, on va l'appeler par exemple \(d\). On va prendre cette autre droite, on va en sortir un autre vecteur directeur, on va l'appeler \(d'\). Et on va vérifier si ces deux vecteurs sont colinéaires. Un vecteur directeur de cette droite, je vous rappelle, c'est ce qu'on obtient en faisant \(2 - 2\). Un vecteur directeur de \(d'\) ça va être \(-3 - 6\). Et pour vérifier si c'est possible, on va vérifier l'égalité suivante : est-ce que je peux passer de \(1\) à \(-3\) en multipliant par un nombre, c'est-à-dire est-ce que \(1 / -3\) c'est égal à \(2 / -6\) ? C'est en fait la même chose que \(2 / -6\) divisé par \(-3\), c'est en fait la même chose que \(-2\) divisé par \(6\) parce que \(6\) c'est deux fois \(3\). Donc les deux se simplifient, je vois qu'avec \(-1/3\) et \(-1/3\), donc les vecteurs directeurs sont colinéaires. Donc on a bien \(d\) et \(d'\) qui sont parallèles. On n'a plus qu'à vérifier si ces deux droites sont parallèles et qu'elles passent par le même point ou pas. C'est-à-dire qu'on va prendre un point de passage de \(d'\), par exemple ce point-là, et vérifier si ce point-là c'est bien un point de passage de la première droite. Parce que si la première droite passe par un point par lequel passe la deuxième droite et qu'en plus ces deux droites sont parallèles, alors ces deux droites sont confondues. Donc je vais prendre les coordonnées du point de passage de \(d'\), \(-2, -3, 5\), et je vais les remplacer dans celle de \(d\). Donc je devrais avoir \(6\) si les deux droites sont identiques. \(-2\) qui vaut \(t + 1\), \(-3\) qui vaut \(2t + 3\) et \(5\) qui vaut \(-2t + 2\). Et évidemment, vous vous doutez, l'exercice est bien fait. Quand je résous ça, ça me fait \(t\) égal à \(-3\). Si je mets \(-3\) là dedans, j'obtiens \(2\) fois \(-3\) soit \(-6\), \(-6 + 3\) ça fait bien \(-3\). \(-2\) fois \(-3\) ça me fait \(6\), \(6 - 1\) ça me fait bien \(5\). Donc il y a bien un \(t\) qui vaut \(-3\) qui me permet de résoudre ces trois équations. Donc ce point de passage-là, il est bien sur cette droite-là. En plus de cela, ces deux droites sont parallèles. Les droites qui sont parallèles et qui passent par le même point sont identiques. Donc, est-ce que ces droites sont identiques ? Oui. Je répète la méthodologie : on commence par regarder si les vecteurs directeurs sont colinéaires. Ensuite, on prend le point de passage de l'une, on vérifie si c'est un point de passage de l'autre et on conclut à ce que les droites sont identiques. On vous a mis des petits exercices en dessous, ça tombe en DM, ça tombe au contrôle. Entraînez-vous, vous êtes des champions. À vous de jouer.