11. Montrer que deux droites sont orthogonales

Introduction

Allez les amis, on est parti pour montrer très rapidement grâce aux produits scalaires que deux droites sont orthogonales. Pour montrer que deux droites sont orthogonales, il faut que vous montriez que le vecteur directeur de l'une est perpendiculaire aux vecteurs directeur de l'autre. Pour montrer que les vecteurs sont perpendiculaires, orthogonaux, on va utiliser le produit scalaire. Si deux vecteurs sont orthogonaux, leur produit scalaire vaut zéro. Donc ici, on travaille avec les droites GF et HD.

Trouver un vecteur directeur

On va commencer par trouver un vecteur directeur de GF et de HD. Le vecteur directeur le plus évident de GF est le vecteur GF. Un vecteur directeur de HD le plus évident est le vecteur HD. On aurait pu prendre la moitié de HD ou la moitié de GF, mais on ne va pas se compliquer la tâche vu qu'on peut prendre directement ces vecteurs-là. Pourquoi c'est le plus simple ? Parce que c'est ce dont on va pouvoir calculer les coordonnées.

Calcul des coordonnées

Comment ça va ? De deux manières. On se place dans une base AB à DE. On commence par lire les coordonnées de F puis celle de G et ensuite on fait la différence conformément à la formule qui s'affiche. Ou plus simplement, si on arrive à les lire directement, on dit que le vecteur GF est un peu comme le vecteur CB qui lui-même est un peu comme ce vecteur-là qui est un des vecteurs de base. Donc on a première coordonnée, deuxième coordonnée, troisième coordonnée. Donc on sait que notre vecteur GF est une fois le deuxième vecteur de notre base de 3. Sauf que il n'est pas dans le bon sens parce que notre vecteur est GF et non FG. Donc on a GF donc il va falloir une fois GF mais moins une fois FG. Donc je mets moins un pour la première, deuxième coordonnées et pour la première et la troisième mais zéro. Si vous ne comprenez pas cette technique, ce n'est pas grave, passez tranquillement par les coordonnées du point G, les coordonnées du point F et faites la différence. Ensuite, pour HD, on fait pareil. Les coordonnées de HD sont quasiment celles de BA sauf qu'il est dans le mauvais sens donc ça va faire moins le dernier vecteur - 1, 0, 3 celui-là 0, 0.

Calcul du produit scalaire

Ensuite, je fais mon produit scalaire. 0, 3, 0 que ça fait 0 - 1 x 0, 0, 0 fois moins ça fait zéro. Zéro plus zéro plus zéro ça fait zéro. Donc les vecteurs GF et HD sont bien orthogonaux. Donc les droites HD et GF sont orthogonales. On vous laisse des exercices en dessous à vous de jouer, vous êtes les champions !