5. Calculer un produit scalaire avec les formules de polarisation

Introduction

Allez les amis, on est parti pour calculer un produit scalaire dans l'espace avec les identités de polarisation qui s'affiche ici. On s'y met tout de suite. Pour traiter ce genre d'exercice, par exemple à Bescat les rages et dans un cube droit, on peut passer par les identités de polarisation.

Les identités de polarisation

La première chose à faire c'est de trouver un plan parce que les identités de polarisation sont des identités qui sont très utiles dans un plan. Quand vous voulez faire à Bescat l'air âgé, on sait que dans l'espace deux vecteurs sont toujours coplanaires donc il existe un plan dans lequel AB et âgés peuvent être présentés à plat et c'est ce qu'on va faire. Nous avons dessiné à plat dans le plan du tableau. Donc quel est ce plan où il a à B et âgés qui sont dessinées à plat ? C'est le plan ABGH.

Application des identités de polarisation

Les identités de polarisation qui s'affichent là-bas permettent de dire que plutôt que de calculer un produit scalaire, je vais faire des sommes de longueurs. C'est ça la puissance. Jusqu'à l'arrivée, ça vaut soit \(u^2 + v^2 - (u-v)^2\) ou \(u^2 + v^2 - (u+v)^2\). Comment est-ce qu'on va savoir laquelle des deux utiliser ? On va prendre notre cap donc ici à Bescat leur AG et on va écrire les deux identités. C'est au choix \(1/2\) de \((AB^2 + AG^2 - (AB-AG)^2)\) ou \(1/2\) de \((AB^2 + AG^2 - (AB+AG)^2)\). Une fois qu'on a fait ça, on va dire quelles sont les longueurs, quelles sont les normes que je connais. Elle vient de Nantes qui sont très faciles à calculer. La plus à ces avait on est dans un cube de côté 1 donc la longueur AB vaut 1. La longueur AG, je sais que je suis dans un triangle rectangle dans un rectangle parce que je connais la longueur de AB et je sais que BG est la diagonale de ce côté là donc BG vaut \(\sqrt{2}\). Avec un petit Pythagore, je peux calculer la longueur AG. Maintenant la question c'est est-ce que je connais cette longueur ou est-ce que je connais cette longueur ? Et moi je vous dis, vous en connaissez forcément l'une ou l'autre. On commence à B plus AG au carré, attention AB plus AG au carré c'est surtout pas \(AB^2 + AG^2\). AB plus AG c'est ce vecteur là, est-ce que je connais sa longueur ? Non, clairement je ne la connais pas. Alors que AB - AG, c'est comme AB plus GA et AB plus GA c'est comme GA + B et ça c'est d'après chez GD et GB je connais cette longueur, c'est \(\sqrt{2}\). Donc je connais cette longueur, c'est \(\sqrt{2}\). Je suis capable de calculer mon produit scalaire.

Conclusion

Cela peut tomber dans les exercices, c'est plutôt des propriétés qu'on utilise dans le plan ces formules de polarisation mais attention ça peut servir dans certains cas. Entraînez-vous à le faire, on vous a mis un petit florilège des bonbons où ça tombe, à vous de jouer, vous êtes des champions !