4. Calculer un produit scalaire avec le projeté orthogonal

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir comment utiliser la technique du projeté orthogonal dans l'espace pour calculer des produits scalaires. On s'y met tout de suite. Le produit scalaire dans l'espace ça marche globalement comme le produit scalaire dans le plan, y compris la technique du projeté orthogonal dont je vous rappelle le principe ici.

Principe du projeté orthogonal

Si vous avez deux vecteurs, par exemple \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \), quand ces deux vecteurs sont collinéaires, encore une fois je vous rappelle que la plupart des propriétés des vecteurs ça marche toujours quand les vecteurs sont collinéaires. C'est-à-dire que tout est en mode parallèle. Une fois que vous avez mis ces deux vecteurs collinéaires, plutôt que de faire \( \vec{u} \cdot \vec{v} \), ce que vous avez le droit de faire c'est de prendre \( \vec{u} \) et le projeter orthogonalement sur \( \vec{v} \). Donc vous prenez \( \vec{u} \) et vous le projetez orthogonalement, c'est-à-dire que chaque point va arriver sur \( \vec{v} \) en faisant un angle droit. Et bien plutôt que de calculer le produit scalaire de \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \), vous pouvez prendre le vecteur que vous avez créé en le projetant sur \( \vec{v} \) que vous appelez \( \vec{w} \) et vous pouvez dire que \( \vec{w} \cdot \vec{v} \) ça nous permet de nous débarrasser de \( \vec{u} \) et de prendre juste \( \vec{w} \). Pourquoi c'est génial ? Parce qu'avant on avait besoin d'une longueur et d'un angle et maintenant on a besoin plus que d'une longueur.

Application du projeté orthogonal

Donc dans notre cas, quand je vous demande \( \vec{AB} \cdot \vec{GH} \), est-ce qu'on va faire ? On va se placer dans le plan \( ABGH \). Vous voyez que si je prends le plan \( ABGH \), si je dessine cette coupe là, ça va faire un rectangle. Donc moi, ce que je cherche à faire en fait, c'est de calculer \( \vec{AB} \cdot \vec{GH} \). Vous voyez que ce que j'ai fait là, c'est transformer un problème d'espace en un problème de plan. Pourquoi ? Parce que quand j'ai deux vecteurs, ces vecteurs sont toujours nécessairement coplanaires. Donc il y a toujours un plan dans lequel on peut représenter ces vecteurs à plat. En l'occurrence, le plan qui nous permet de représenter les vecteurs \( \vec{AB} \) et \( \vec{GH} \) est le plan \( ABGH \). Donc je me suis mis dans \( ABGH \), effectivement mes deux vecteurs sont à plat. Je prends mon vecteur \( \vec{GH} \) et je vais le projeter sur \( \vec{AB} \). Donc \( \vec{AB} \cdot \vec{GH} \) et je vais montrer que c'est \( \vec{GH} \) que je projette orthogonalement sur \( \vec{AB} \). Et je me rends compte que quand je prends \( \vec{GH} \) et je le projette sur \( \vec{AB} \), ça me donne \( \vec{AP} \). Donc en fait, c'est comme \( \vec{AB} \cdot \vec{AP} \) et ça on a vu que c'est la norme de \( \vec{AB} \) fois la norme de \( \vec{AP} \) fois le cosinus de l'angle entre eux. À \( \vec{AB} \), ça fait une norme 1 fois le cosinus de 0, or le cosinus de 0 ça fait 1, donc ça me fait 1. Et j'ai réglé un problème compliqué avec le projeté orthogonal. On vous a mis des exercices en dessous dans différentes figures pour que vous entraîniez vos yeux à le voir. Allez-y, faites l'essai, faites-vous des faux-semblants, champions !