Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Exercice 4
Exercice 5

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir comment calculer un produit scalaire. Cette fois-ci, nous n'allons pas utiliser les coordonnées, mais les longueurs et les angles. C'est-à-dire, nous allons utiliser la formule qui va s'afficher ici. On s'y met tout de suite.

Calcul du produit scalaire avec des longueurs et des angles

Pour calculer un produit scalaire dans ce cas-là, avec des longueurs et des angles, par exemple \(AB \cdot AC\), c'est-à-dire le vecteur \(AB\) scalaire avec le vecteur \(AC\), il va falloir deux choses : les longueurs de \(AB\) et \(AC\) et la valeur de l'angle entre les deux. Je vous rappelle la formule qui s'affiche ici, que vous connaissiez en première et qui est toujours la même quand vous voulez faire un produit scalaire : c'est la norme du premier vecteur fois la norme du deuxième vecteur fois le cosinus de l'angle entre eux. Mais pour qu'on soit bien clair, si je vous dessine un vecteur \(U\) comme ça et un vecteur \(V\) comme ça, n'allez pas me dire que l'angle entre \(U\) et \(V\) est l'angle que je dessine ici. Si vous faites ça, je mange mon chapeau, ce n'est pas du tout ça. Je vous rappelle que pour voir l'angle entre deux vecteurs, vous ne les mettez surtout pas tête à queue, mais vous les mettez queue à queue.

Application de la formule

Maintenant que vous êtes fort de ce savoir, on va pouvoir appliquer la formule à \(AB\) et \(AF\). Donc \(AB \cdot AF\) c'est la norme de \(AB\) fois la norme de \(AF\) fois le cosinus de l'angle entre \(AB\) et \(AF\). On est dans un pavé à base carrée de côté 1, donc toutes les longueurs que vous avez ici, toutes les arêtes valent 1. La longueur de \(AB\) est très facile à calculer, ça va être 1. La longueur de \(AF\), comment est-ce que je peux faire pour la calculer ? En utilisant le théorème de Pythagore, on trouve que \(AF\) est égale à \(\sqrt{2}\). Il ne me reste plus qu'à trouver l'angle entre \(AB\) et \(AF\). Dans une base carrée, la diagonale vient couper cet angle en deux et du coup, vu que cet angle là est un angle droit, l'angle qui est là vaut 45 degrés. Donc le produit scalaire \(AB \cdot AF\) est égal à \(1 \times \sqrt{2} \times \cos(\frac{\pi}{4})\), ce qui donne 1. Vous vous rendez compte que cette technique est beaucoup plus laborieuse. La technique des longueurs et des angles est vraiment la dernière technique que vous avez envie d'utiliser. On vous a mis des petits exercices en dessous, à vous de jouer !