17. Équation des hauteurs d'un triangle

Introduction

Allez les amis, on démarre pour voir comment trouver très simplement l'équation de la hauteur d'un triangle dont on vous a donné les trois sommets. On s'y met tout de suite pour régler ce genre de soucis. On commence avant toute chose par se faire un petit dessin. Donc on insiste, on se débrouille toujours pour se faire un dessin dont on espère qu'il ressemble à quelque chose qui lie les côtés latéraux, isocèle, directeur. Ça, c'est un joli triangle qui ressemble à quelque chose. Alors, la hauteur issue de A dans un triangle ABC, c'est la droite qui va passer par A et qui est perpendiculaire à BC. Donc c'est une hauteur qui passe par A tout en étant perpendiculaire à cette droite qui est là. Donc ça, c'est la droite que l'on recherche.

Recherche de l'équation de la hauteur

Ensuite, on va faire comme on fait exactement à chaque fois. On sait que cette droite, qui a pour équation \(ax + by + c = 0\), on sait que \(a\), \(b\) et \(c\) on va pouvoir les déterminer avec deux choses. Premièrement, il va falloir un vecteur, soit directeur, soit normal. Et deuxièmement, il va nous falloir un point de passage \(M\). Une fois qu'on aura ces deux choses là, on aura trouvé \(a\), \(b\) et \(c\) et on pourra donner l'équation de la hauteur issue de \(A\). Commençons par le vecteur. Donc moi, je vous rappelle pour la 17e fois dans ce chapitre que quand vous voulez donner l'équation d'une droite, en l'occurrence quand vous voulez donner l'équation de la droite \(d\), vous avez le choix entre deux types de vecteurs. Soit vous arrivez à trouver un vecteur directeur, donc un vecteur qui donne la direction de la droite, auquel cas dans les coordonnées du vecteur que vous allez lire \(-b\) et \(a\), autrement dit ces nombres là, ils vont s'afficher ici, ici vous aurez \(-b\), ici vous aurez \(a\). Soit vous arrivez à trouver un vecteur normal et dans le cas du vecteur normal c'est encore plus sympa, ce que vous allez lire directement \(a\) et \(b\), il n'y aura pas de signe à changer. Si vous avez un vecteur normal, vous avez directement \(a\) et \(b\).

Calcul du vecteur normal

Question, dans ce cas de figure, est-ce que vous allez plutôt essayer de donner un vecteur normal ou un vecteur directeur ? On va regarder l'énoncé. Vous donne toutes les coordonnées des sommets. Du coup, avec les sommets, c'est très facile de calculer ces vecteurs là, les vecteurs qui correspondent aux côtés de votre triangle. Du coup, notamment le vecteur \(CB\) qui est extrêmement facile à calculer. Et voyez, ce vecteur \(CB\), en fait, c'est un vecteur normal. Il est perpendiculaire à votre droite \(d\). Donc votre vecteur \(CB\) c'est un vecteur normal. Donc quand vous aurez calculé \(CB\), vous n'aurez qu'à utiliser le premier résultat et à le mettre devant \(x\) et le deuxième résultat à mettre devant \(y\). Et vous aurez déjà deux des inconnus sur les trois qui vous faut pour finir le problème. Donc calculons le vecteur normal qui va être le vecteur \(CB\). Je vous rappelle que pour avoir les coordonnées du vecteur \(CB\), vous faites celles de \(B\) moins celles de \(C\), c'est donc \(3 - 5\) et \(4 - 1\). Et ça me donne tout simplement \(-2\) et \(3\). Donc mon vecteur normal c'est \(-2, 3\). Sauf qu'on a vu que dans le cas d'un vecteur normal, je vais lire directement \(a\) et \(b\). Donc \(a\) c'est \(-2\) et \(b\) c'est \(3\). Donc je sais d'ores et déjà que mon équation c'est \(-2x + 3y + c = 0\).

Calcul du point de passage

Formidable, comment est-ce que je vais trouver maintenant la dernière valeur, la dernière inconnue qui nous manque ? Eh bien, j'ai utilisé un point de passage. Un point de passage évident pour cette droite, la droite en bleu, c'est \(A\). Donc je sais que la droite elle passe par le point \(A\) dont les coordonnées sont \(1, 2\). Donc je sais que je dois remplacer \(x\) par \(1\) et \(y\) par \(2\). Donc je connais \(-2\), je connais \(3\), il me restera plus que \(c\) comme inconnu. Donc je pourrais trouver la valeur de \(c\). \(-2\) fois \(1\) ça me fait \(-2\), \(3\) fois \(2\) ça fait \(6\). \(-2 + 6 + c = 0\), donc \(c = -4\). J'envoie mon \(c\) de l'autre côté et c'est terminé. Du coup, je peux remplacer le \(c\) par \(-4\) et voilà, j'ai l'équation de ma hauteur issue de \(A\). Et si je voulais la hauteur issue de \(B\), très exactement la même chose. Quel plaisir de calculer des petites hauteurs, moi ça me rend heureux. Une journée très bien remplie. On vous a mis des petits exercices en dessous, ça tombe bien pour les faire et progresser. En faisant des petits exercices tranquilles, ils sont très progressifs, ça commence très facilement. À vous de jouer, vous êtes des champions.