16. Équation des médianes d'un triangle

Introduction

Bonjour à tous, nous allons voir comment déterminer la médiane d'un triangle dont on vous a donné les coordonnées des trois points. La médiane est la droite issue d'un des sommets du triangle et qui passe par le milieu du côté opposé. Commençons sans plus tarder.

Représentation du triangle

Prenons un triangle ABC. Lorsque vous dessinez un triangle, veillez à ce qu'il ne soit pas particulier, c'est-à-dire ni perpendiculaire, ni rectangle, ni équilatéral, ni isocèle. La médiane issue de A est la droite qui part de A et qui va au milieu du côté opposé. C'est cette droite que nous cherchons à déterminer l'équation.

Calcul de la médiane

Rappelez-vous que l'équation d'une droite est de la forme \(ax + by + c = 0\). Pour trouver \(a\), \(b\) et \(c\), vous avez besoin de deux choses : un vecteur directeur ou normal et un point de passage. Commençons par le vecteur. Cette droite, la droite en bleu, a-t-elle un vecteur directeur ou un vecteur normal ? Si vous avez un vecteur directeur, ses coordonnées sont \(-b\) et \(a\). Une fois que vous avez trouvé ces valeurs, vous pouvez dire que la première valeur est l'opposée de ce que vous verrez devant le \(y\) et que la deuxième est ce que vous aurez devant le \(x\). Si vous avez un vecteur normal, c'est un vecteur qui serait perpendiculaire à votre droite, et dans ce cas, vous liriez directement \(a\) et \(b\). Dans notre cas, nous n'avons clairement pas de vecteur normal, mais un vecteur directeur évident est le vecteur qui va du point A jusqu'au point I, qui est le milieu de CB. Donc, nous allons calculer les coordonnées de I. Une fois que nous aurons les coordonnées de I grâce à la formule des milieux d'un segment, nous pourrons trouver les coordonnées du vecteur AI grâce à la formule du vecteur AB. Une fois que nous aurons cela, nous aurons notre vecteur directeur et nous pourrons utiliser la formule \(-b, a\) pour compléter notre équation. Les coordonnées de I sont la moyenne des coordonnées de C et de B, car I est au milieu. Donc, les coordonnées de I sont \((5 + 3) / 2\) et \((1 + 4) / 2\), soit \(4\) et \(2.5\). Maintenant, pour avoir les coordonnées du vecteur AI, nous faisons celle de I moins celle de A, conformément à la formule qui s'affiche. Donc, les coordonnées de mon vecteur AI sont \(4 - 1 = 3\) et \(2.5 - 2 = 0.5\). Cependant, le vecteur AI est un vecteur directeur, donc ce que nous devons lire ici sera \(-b, a\). Donc, nous avons déjà \(-b = 0.5\) et \(a = 3\), donc notre équation devient \(0.5x - 3y + c = 0\). Il ne nous reste plus qu'à trouver la valeur de \(c\). Pour trouver \(c\), nous allons utiliser un point de passage. Le point de passage évident est le point A. Donc, nous remplaçons \(x\) par \(1\) et \(y\) par \(2\) dans notre équation, et nous obtenons \(0.5 - 6 + c = 0\), soit \(c = 5.5\). Donc, l'équation de la médiane du triangle issue de A est \(0.5x - 3y + 5.5 = 0\).

Conclusion

Voilà, vous avez maintenant l'équation de la médiane du triangle issue de A. N'hésitez pas à vous entraîner avec d'autres exercices pour vous familiariser avec ce processus. C'est très facile et cela peut vous rapporter des points faciles lors d'un contrôle. Je suis sûr que vous êtes des champions. À bientôt !