Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Exercice 4

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir très simplement comment faire pour calculer l'intersection d'un cercle avec soit l'axe des abscisses soit l'axe des ordonnées. On se doute qu'un cercle, vous savez qu'on dessine dans un repère. Ça, c'est mon repère avec l'axe des abscisses (axe horizontal) et l'axe des ordonnées (axe vertical).

Nombre d'intersections possibles

Je vais faire un petit exercice mental. À votre avis, combien d'intersections peut-on retrouver entre un cercle et l'axe des abscisses par exemple ? Eh bien, vous pouvez imaginer des cercles où il n'y a aucune intersection, où ce cercle-là ne va jamais toucher cette droite-là. On peut imaginer des cercles qui vont raser pile-poil l'axe des abscisses et on peut imaginer des cercles qui vont toucher une fois, deux fois l'axe des abscisses. Pareil pour l'axe des ordonnées : je touche aucune fois l'axe des ordonnées, je touche une fois l'axe des ordonnées, je touche deux fois l'axe des ordonnées. On pourrait imaginer des cercles qui viennent toucher une fois l'axe des abscisses, une fois l'axe des ordonnées, des cercles qui vont toucher deux fois chacun des axes.

Calcul de l'intersection

Donc, quand on cherche l'intersection d'un cercle avec un axe, on s'attend à trouver soit deux solutions, soit une solution, soit aucune solution. L'axe des abscisses, son équation est \(y = 0\). Tous mes points ont une altitude de 0. Donc, si je cherche l'intersection de l'axe des abscisses avec mon cercle, je sais que les points vont respecter à la fois \(y = 0\) (c'est-à-dire qu'ils sont sur l'axe des abscisses) et en même temps ils sont sur le cercle donc \(x^2 + y^2 - 2x - y + 1 = 0\). Je me retrouve face à un petit système. Si \(y = 0\), j'obtiens \(x^2 - 2x + 1 = 0\). Ça, c'est un polynôme du second degré. Donc, pour résoudre ça, je vais faire \(\Delta = b^2 - 4ac\), donc \((-2)^2 - 4 \times 1 \times 1\). \(\Delta = 4 - 4 = 0\), donc je sais déjà que je vais avoir qu'une seule racine qui est \(x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2} = 1\). Donc, je sais que mon \(x = 1\) et que \(y = 0\). Du coup, l'intersection entre cette droite, ça va être le point qui a pour abscisse (c'est-à-dire pour \(x\)) 1 et pour ordonnée 0. Si je veux trouver une intersection avec l'axe des ordonnées, de la même manière que l'axe des abscisses était \(y = 0\), l'axe des ordonnées c'est \(x = 0\). Donc, je me retrouve à résoudre le système : quand est-ce que je suis sur le cercle donc \(x^2 + y^2 - 2x - y + 1 = 0\) et quand est-ce que je suis sur l'axe des ordonnées donc \(x = 0\). Cela donne \(y^2 - y + 1 = 0\). C'est un polynôme du second degré. Si je fais \(\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \times 1 \times 1 = 1 - 4 = -3\), le \(\Delta\) est négatif donc il n'y a pas de solution. Donc ici, le point d'intersection, il n'y en a tout simplement pas. Vous avez compris, certains problèmes font deux intersections, certains font une intersection, certains problèmes font aucune intersection. On vous a mis des petits exercices en dessous, ça prend vraiment trois secondes. C'est des bonnes compétences, ça, ça tombe au contrôle, croyez-moi. À vous de jouer, vous êtes des champions.