10. Équation d'un cercle de diamètre [AB]

Introduction

Allez les amis, on va très posément se trouver l'équation d'un cercle pour lequel on vous a donné le diamètre avec des coordonnées. On se fait ça tout de suite, c'est très simple. Pour ce genre d'exercice, ce que je vous recommande, c'est de tout faire d'abord un petit schéma. Donc tout ce que je sais, c'est que j'ai un point A, un point B ici et que je cherche le cercle dont AB, c'est-à-dire ce segment-là, soit le diamètre. Le diamètre étant la plus grande longueur du cercle, donc mon cercle, grossièrement et sans talent de dessins, ressemble à ça. Or, vous savez que pour donner l'équation d'un cercle, s'il y a une expression du style \(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\), il vous faut deux choses : il vous faut d'abord le centre du cercle et ensuite il vous faut son rayon.

Calcul du centre du cercle

Je rappelle que les coordonnées du centre du cercle, elles vont aller ici et ici, et que le rayon, il va aller là. Comment est-ce qu'on fait pour trouver les coordonnées du centre du cercle ? Très basiquement, intuitivement, vous voyez que le centre du cercle dont le diamètre est AB, c'est le milieu de A et de B. Mais vous avez une petite formule là pour calculer le milieu entre deux points A et B : vous faites la moyenne de ces deux points. Du coup, le milieu de AB, ses coordonnées, ça va être \(1 + 5) / 2\) et \(2 + 6) / 2\), autrement dit, ses coordonnées, ça va être \(3, 4\). Donc, vous savez d'ores et déjà que les coordonnées du milieu, c'est \(3, 4\). Donc là, vous pouvez mettre 3 et là, vous pouvez mettre 4. On a déjà bien avancé.

Calcul du rayon du cercle

Maintenant, qu'est-ce qu'il manque ? Il manque \(r\), c'est-à-dire le rayon. Pour calculer le rayon de ce cercle, c'est-à-dire cette distance-là, je peux calculer soit AH, par exemple, ou alors celle-là, la distance AI. Comment je fais pour calculer la distance AI ? Première étape, je calcule les coordonnées du vecteur AI. Deuxième étape, j'utilise la formule de la norme d'un vecteur. Donc, le vecteur AI, ses coordonnées, vous savez les faire. Quand je veux les coordonnées du vecteur AB, c'est \(X_B - X_A\) et \(Y_B - Y_A\). Gardez toujours, toujours, toujours la fin - le début, que ce soit en maths ou en physique. Donc, les coordonnées de I - celles de A, donc \(3 - 1\) et \(4 - 2\), autrement dit \(2\) et \(2\). Ça, c'est mon vecteur AI. Et bien, la longueur du segment AI, c'est-à-dire la longueur du vecteur AI, elle se note norme de AI et elle vaut \(\sqrt{2^2 + 2^2}\), c'est-à-dire \(\sqrt{8}\). Donc, la longueur de mon rayon, ce que je vais mettre ici, c'est \(\sqrt{8}\). Sauf que \(\sqrt{8}\) au carré, ça fait tout simplement \(8\). Et voilà, comme c'est passé, mais calme, franchement, c'est pas un truc castré, c'est un fait que vous pouvez faire. On va vraiment étendre le soir avant de vous coucher, ça vous fera une croissance qui gagne à être tranquille. Ça tombe bien, on vous a mis juste en dessous des petits exercices qui n'attendent que vous. Entraînez-vous, faites des champions.