Introduction
Allez les amis, on est parti pour voir très rapidement comment donner l'équation d'une médiatrice d'un segment de deux points dont on vous a donné les coordonnées. On s'y met tout de suite.
Première étape : le dessin
La première étape pour résoudre ce genre de problème, on va se faire un dessin. On a un point A et un point B qui est à un autre endroit. Ce qu'on veut, c'est la médiatrice du segment. Donc petit rappel sur ce qu'est la médiatrice : la médiatrice d'un segment est une droite qui est perpendiculaire à ce segment et qui passe par son milieu. Donc je vais déterminer le milieu du segment AB. Elle a une longueur ici et ici, et ça, ça sera la médiatrice.
Deuxième étape : trouver l'équation de la droite
Deux rappels de cours : j'ai besoin pour trouver l'équation d'une droite, j'ai besoin d'un point de passage et soit d'un vecteur normal, soit d'un vecteur directeur. Si j'ai un vecteur normal, ce que je vais lire dans les coordonnées, ce sera directement a et b. Si j'ai un vecteur directeur, ce que je vais lire dans les coordonnées, ce sera -b et a. Donc je sais que dans tous les cas, mon équation de cette droite, la droite que je recherche, la médiatrice, ça va être de la forme \(ax + by + c = 0\).
Si j'ai un vecteur directeur de cette droite, c'est un vecteur qui donne la même direction que ce vecteur, ses coordonnées seront \(-b\) et \(a\). Et si j'ai un vecteur normal à cette droite, un vecteur perpendiculaire à cette droite, ses coordonnées seront \(a\) et \(b\). J'ai plus qu'à les prendre et à les remettre là dedans.
La question qu'on va se poser, c'est est-ce que cette droite a un vecteur directeur évident ou un vecteur normal évident ? Le vecteur normal évident sera soit perpendiculaire à \(d\), qui est évident, c'est le vecteur \(AB\). Donc j'ai juste à calculer les coordonnées du vecteur \(AB\) et ça va être ça mon vecteur normal. Sauf que les coordonnées de \(AB\) sont \(B - A\), donc \(5 - 1 = 4\) et \(-1 - 2 = -3\). Or le vecteur \(AB\) est un vecteur normal, donc ce que je lis ici, \(4\) et \(-3\), c'est directement \(a\) et \(b\).
Si ce vecteur avait été un vecteur directeur, j'aurais lu \(-b\) et \(a\), mais vu que c'est un vecteur normal, c'est \(a\) et \(b\). Je le répète plusieurs fois, mais j'aimerais que vous compreniez. Donc ce que j'ai ici, c'est mon \(a\) et ce que je lis ici, c'est mon \(b\). Donc mon \(a\) vaut \(4\), donc j'ai \(4x\), et mon \(b\) vaut \(-3\), donc j'ai \(-3y + c = 0\).
Formidable, j'ai déjà quasiment mon équation, il y a plus que \(c\) qui m'embête. Comment est-ce qu'on fait pour enlever \(c\) ? Pour trouver la valeur de \(c\), on va remplacer \(x\) et \(y\) par les coordonnées d'un point de passage. Mais est-ce qu'on voit un point de passage là ? Vous dites oui, en gros, le point au milieu entre \(A\) et \(B\). Sauf que ce point là, on est capable de calculer ses coordonnées. Ce point, qui est le milieu, bah oui, absolument, le milieu de ce segment, c'est la moyenne des deux points, donc \((1+5)/2 = 3\) et \((2 - 1)/2 = 0.5\).
Du coup, vous pouvez remplacer \(x\) par \(3\) et \(y\) par \(0.5\) pour trouver la valeur de \(c\). Donc ça me fait \(4 \times 3 - 3 \times 0.5 + c = 0\), soit \(12 - 1.5 + c = 0\), donc \(10.5 + c = 0\), donc \(c = -10.5\).
Et voilà, j'ai l'équation de la médiatrice de \(AB\), tout simplement. Première étape, je me rends compte que le vecteur \(AB\) est un vecteur normal à la droite que je recherche, c'est-à-dire qu'il est perpendiculaire à la droite que je recherche. Du coup, une fois que j'ai calculé \(a\) et \(b\), je sais que ma droite va s'écrire \(ax + by + c = 0\), et que \(a\) et \(b\), je vais les écrire directement comme étant les valeurs du vecteur \(AB\). Une fois que ça, c'est fait, je remplace par un point de passage, qui est le milieu, pour trouver la valeur de \(c\). Je trouve \(c\), je remplace, je trouve les points.
On vous a vu défiler les saucisses en dessous, à vous de jouer. C'est pas une compétence compliquée, mais c'est comme une petite poésie qu'il faut savoir se réciter. Attention, vous êtes des champions, à votre jeu.