Introduction
Allez les amis, on est parti pour un classique. Au contrôle, on vous donne une droite \(d\) et on vous demande de trouver l'équation d'une autre droite qui est parallèle à celle qu'on vous a donné mais qui passe par un autre point. On se fait ça tout de suite. Il faut commencer par faire un dessin.
Représentation graphique
Imaginons que ça soit ma droite \(d\). Si je souhaite faire une droite qui soit parallèle à celle-là et qui passe par le point \(A(2,1)\), donc faisons \(d'\), elle va avoir cette allure là. Je vous rappelle que \(d\) est ce que ça vous donne cette équation là, c'est un vecteur directeur. On a vu comment le faire. Si je vous donne l'équation de la droite, vous êtes capable d'en extraire le vecteur directeur. Du coup, quand on va vouloir mettre en équation la droite \(d'\), on va dire n'est-ce pas compliqué ?
Pour faire ma droite \(d'\), il me faut deux choses : il me faut un vecteur directeur et un point de passage. Concernant \(d'\), le point de passage c'est \(A\), aucun problème avec ça. Qu'en est-il du coefficient directeur ? Et bien, si cette droite là et cette droite là sont parallèles, ça veut dire que le coefficient directeur de \(d\) et celui de \(d'\) c'est les mêmes. Donc ça veut dire que ce que je vais avoir devant \(x\) et devant \(y\), qui correspond aux \(a\) et \(b\) que je vais lire dans les vecteurs directeurs, ça va être la même chose.
Du coup, vu qu'elles sont parallèles, je peux dire que \(d\) parallèle à \(d'\) ça implique que forcément l'équation de \(d'\) elle va s'écrire \(3x + 2y + c = 0\). J'ai conservé les mêmes valeurs que dans \(d\), \(a\) et \(b\) correspondent à \(3\) et \(2\).
Calcul de l'équation de la droite \(d'\)
Pour trouver \(c\), on va faire ce qu'on fait depuis le début, c'est-à-dire qu'on va insérer les coordonnées du point de passage \(A\) à l'intérieur de \(d'\). Le fait d'insérer les coordonnées de \(A\) dans \(d'\) ça va nous donner le dernier bout qui nous manque pour trouver \(d'\).
Donc je le fais, à la place de \(x\), je mets la coordonnée \(x\) de \(A\), donc \(3 \times 2\) plus deux fois la coordonnée \(y\) du point \(A\), c'est-à-dire \(0\), est égal à \(0\). Donc on sait que \(6 + 0 = 0\), autrement dit \(c\) est égal à \(-6\).
Je peux en conclure directement que l'équation de \(d'\) c'est \(3x + 2y - 6 = 0\). J'ai bien une droite qui a le même coefficient devant \(x\) et \(y\) et qui du coup est parallèle à \(d\) et qui a un nombre à la fin qui a changé parce que le point de passage n'est plus le même.
Ce n'est pas si évident que ça. On vous donne des exercices du sens où il faut trouver des équations des fonctions en question. Entraînez-vous, ce genre de truc ça tombe vraiment massivement au contrôle. Vous êtes les champions, j'ai confiance en vous. À vous de jouer.