1. Équation cartésienne à partir du vecteur directeur et d'un point

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir comment donner l'équation cartésienne d'une droite sachant qu'on vous a donné un point de passage et un vecteur directeur. On s'y met tout de suite.

Qu'est-ce que l'équation cartésienne d'une droite ?

L'équation cartésienne d'une droite, ça s'écrit : quelque chose \(a\) multiplié par \(x\) plus quelque chose \(b\) multiplié par \(y\) plus quelque chose \(c\) est égal à zéro. Vous avez trois lettres à trouver : \(a\), \(b\) et \(c\). Il faut que \(x\) et \(y\) soient présents à la fin. Quand on demande l'équation cartésienne d'une droite, à la fin, vous avez \(x\) et \(y\), il n'est pas question de les remplacer. Il est plus facile de trouver \(a\) et \(b\). En effet, quand on vous donne un vecteur directeur, ce que vous voyez ici, c'est \(a\). Donc, \(a\) vaut 5. On sait que \(-b\) vaut 3, donc \(b\) vaut \(-3\). Donc, mon équation partielle est \(5x -3y + c = 0\). Il ne reste plus qu'à trouver la valeur de \(c\).

Comment trouver la valeur de \(c\) ?

Et bien, si le point \(A\) est sur cette droite, ça veut dire que quand je prends les coordonnées du point \(A\) (1,2) et que je les remplace à la place de \(x\) et \(y\) dans cette équation, elle est vraie. Autrement dit, ça fera toujours zéro. Donc, si je fais \(5\) fois la première coordonnée de \(A\) (c'est-à-dire \(5 \times 1\)) moins \(3\) fois la deuxième coordonnée de \(A\) (c'est-à-dire \(3 \times 2\)) plus \(c\), c'est égal à zéro. En faisant le calcul, on obtient \(5 - 6 + c = 0\). En passant le \(-6\) de l'autre côté, on obtient \(c = 1\). Du coup, je peux reprendre cette équation et remplacer \(c\) par la valeur que j'ai trouvée, c'est-à-dire \(1\). On obtient donc \(5x -3y +1 = 0\). En conclusion, j'ai réussi à donner l'équation cartésienne de la droite qui passe par le point \(A\) et qui a pour vecteur directeur \(u\) de coordonnées (3,5). On vous invite à faire plein de petits exercices pour vous entraîner. C'est du sudoku, à vous de jouer !