Introduction
Alors, nous allons nous concentrer sur des petits exercices de résolution de systèmes en utilisant des techniques du second degré. Vous avez l'habitude de résoudre des systèmes d'une ou deux équations avec deux inconnus. Cependant, cette fois, nous allons le faire différemment. Nous allons utiliser une des propriétés du cours qui dit que si j'ai deux nombres \(p\) et \(q\) tels que je connais la somme \(p+q\) (qui vaut \(b\)) et que je connais le produit \(pq\) (qui vaut \(c\)), alors pour trouver \(p\) et \(q\), j'ai juste à trouver les racines du polynôme qui vaut \(x^2 - bx + c = 0\).
Exemple 1
Supposons que j'ai deux inconnus \(p\) et \(q\) tels que la somme des deux vaut 1 et le produit des deux vaut -6. Nous allons construire un polynôme pour lequel \(p\) et \(q\) sont les racines. En utilisant la formule, nous savons que \(p\) et \(q\) sont les racines de \(x^2 - bx + c\). Donc, puisque \(p+q\) vaut 1, cela donne \(x^2 - x + c = 0\). Avec \(c = -6\), nous obtenons \(x^2 - x - 6 = 0\).
Nous calculons le discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac = 1 - 4(-6) = 1 + 24 = 25\). Nous calculons ensuite les racines, car le polynôme a un discriminant strictement positif. Les racines sont \(x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\) et \(x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\). Donc, \(x_1 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2} = -2\) et \(x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2} = 3\).
Nous savons que \(p\) et \(q\) sont les racines de ce polynôme, donc nous pouvons dire que \(p = -2\) et \(q = 3\). Nous aurions aussi pu échanger et dire que \(p = 3\) et \(q = -2\).
Exemple 2
Supposons maintenant que nous avons deux nombres \(x\) et \(y\) tels que la somme des deux vaut -7/2 et le produit des deux vaut -2. Nous allons construire le polynôme dont \(x\) et \(y\) sont les racines. Ce polynôme est \(x^2 - bx + c\), avec \(b = -(-7/2) = 7/2\) et \(c = -2\). Donc, le polynôme est \(x^2 + \frac{7}{2}x - 2 = 0\).
Nous calculons le discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac = \left(\frac{7}{2}\right)^2 - 4(-2) = \frac{49}{4} + 8 = \frac{81}{4}\). Les racines sont \(x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-7/2 - \sqrt{81/4}}{2} = -4\) et \(x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-7/2 + \sqrt{81/4}}{2} = 1/2\).
Nous savons que \(x\) et \(y\) sont les racines de ce polynôme, donc nous pouvons dire que \(x = 1/2\) et \(y = -4\), ou que \(x = -4\) et \(y = 1/2\).
Conclusion
Ces exercices peuvent aussi se présenter sous une forme légèrement différente, où vous avez \(x + y = a\) et \(xy = b\), mais aussi \(1/x + 1/y = c\). Dans ce cas, il faut mettre l'équation \(1/x + 1/y = c\) au même dénominateur pour obtenir \((y + x) / (xy) = c\), puis multiplier les deux côtés par \(xy\) pour obtenir \(y + x = cxy\). Ensuite, vous pouvez résoudre le système comme nous l'avons fait précédemment.
Ces compétences ne sont pas faciles à acquérir, mais avec de la pratique, vous comprendrez comment faire.